Числовые ряды. Общий член ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Cвойства сходящихся рядов. Остаток ряда.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Числовые ряды. Общий член ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Cвойства сходящихся рядов. Остаток ряда.



РЯДЫ.

Числовые ряды. Общий член ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Cвойства сходящихся рядов. Остаток ряда.

u1;u2;…un… - бесконечная последовательность чисел u.

Sn=u1+u2…+un - n-ая сумма последовательности.

u1;u2 – члены ряда; un – общий член; тогда Sn можно назвать n-ой частичной суммой ряда.

1)

Док-во.

3) если к ряду (1) прибавить (или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно. Также следует, если ряд (1) сходится, то его остаток Rn=S – S­n = un+1+un+2+… стремится к нулю при n–>∞, т.е.

Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Знакоположительные числовые ряды. Признак сравнения (две формы).

1. Даны два знакоположительных ряда:

Если " an≥bn, то

а)

б)

Доказательство. Пусть сходится и , тогда , т.к.

ограничен сверху S. Кроме того последовательность SN ↑, т.к. SN+1=SN+bn+1 и SN+1 - SN= bn+1≥0

1) Un ↑ и ограничено сверху => $ limSn=S, т.о.

2) от противного: если an сходится, то найдется и bn, что противоречит условию=> an расх.

2. Признак сравнения в предельной форме.

Док-во. Пусть т.е. " e $ N: при a≥N . Выберем e и возьмем N: Просуммируем.

Если сход. => сход => меньший ряд тоже сход.=> сход.=> сход. Обратное (расх.) аналогично.

Знакоположительные числовые ряды. Признак Даламбера.

Признак Даламбера:

Доказательство.

Знакоположительные числовые ряды. Радикальный признак Коши.

Док-во. Пусть $ , т.е. " e $ N, "n≥N; ; выберем e<q и раскроем модуль. => просуммируем

, тогда 1) q<1 выберем e так, что q+e<1, тогда правый сход, как геометрический и сход, как линейный. 2) q>1 выберем e так, что q-e<1, тогда левый ряд расх, как геометрический с множителем >1 и тоже расходится как больший ряд.

Таким образом получаем:

Знакоположительные числовые ряды. Интегральный признак Коши.

суммируем то, что получилось:

Если интеграл сходится, то сходится и меньший ряд => сходится и исходный ряд.

Если интеграл расходится, то расходится и больший ряд .

Исследование ряда Дирихле.

Следствие. Ряд Дирихле:

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема сходимости знакопеременного ряда.

- числовой ряд, содержащий бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных рядов, называется знакопеременным.

ряд сходится абсолютно, если сходится ряд

Теорема.Если сходится абсолютно, то он и просто сходится, т.е. сход => сходится.

Доказательство. Пусть S+ - сумма положительных элементов, S- - сумма отрицательных элементов (по модулю). Тогда Sn= S++ S-= существует. S+ и S- возрастают соответственно, причем S+≤ Sn и S- ≤Sn, т. о. последовательности S+ и S- и ограничены Sn

Эти послед-ти имеют пределы. S+ и S- - сходятся.

- разность сходящихся рядов сходится.

Обратное неверно. расх. ≠> расх.

Определение. Если сходится, а расходится, такая сходимость называется условной.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда. Схема исследования на абсолютную и словную сходимость.

сходится, если: а) |an|¯ ; б)

Док-во. a1-a2+a3-a­4+a5-a6+… сгруппируем члены попарно:

с другой стороны: a1-a2+a3-a­4+a5-a6+…=a1-(a2-a3)-(a4-a5)-…<a1, т.е. сумма ряда ограничена.

V1= a2-a3>0; V2= a4-a5>0; S2n=U1+U2…+Un ↑= a1-V1-V2…-Vn-a2n<a1 ↑ и ограничена последовательностью S2n имеет предел S.

Определение. Если сход, а расх., такая сходимость называется условной.

Схема исследования:а) проверяем на абсолютную сходимость. Если абс. сход, то исследование закончено, если нет, то б) применяем признак Лейбница и получим: либо ряд сходится условно, либо ряд расх.

Функциональные ряд, область сходимости.

совокупность точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда. Как правило, по Даламберу.

 

 

Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

от (1) к (2) легко перейти, сделав замену t=x - x0

Теорема Абеля. а) если x1 – точка сходимости ряда (2), то " x: |x|<|x1| - ряд сходится.

б) если x2 – точка расходимости ряда (2), то " x: |x|>|x2| - ряд расходится.

 

Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Формула Эйлера.

выделим действительную и мнимую части

38. Разложение в ряд Маклорена функций и .

, предполагая, что в формуле (64.7) a= - 1; x=-x, тогда

тогда

39. Разложение в ряд Маклорена логарифмических функций: y=ln(1+x),

y=ln(1-x), y=ln .

40. Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции f(x)=(1+x)m, где m- произвольное действительное число.

, предполагая, что в формуле (64.7) a= - 1; x=-x, тогда

тогда

 

41. Разложение в ряд Маклорена обратных тригонометрических функций: y=arctgx; y=arcsinx.

РЯДЫ.

Числовые ряды. Общий член ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Cвойства сходящихся рядов. Остаток ряда.

u1;u2;…un… - бесконечная последовательность чисел u.

Sn=u1+u2…+un - n-ая сумма последовательности.

u1;u2 – члены ряда; un – общий член; тогда Sn можно назвать n-ой частичной суммой ряда.

1)

Док-во.

3) если к ряду (1) прибавить (или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно. Также следует, если ряд (1) сходится, то его остаток Rn=S – S­n = un+1+un+2+… стремится к нулю при n–>∞, т.е.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.55.22 (0.012 с.)