Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.



Знакоположительные числовые ряды. Признак сравнения (две формы).

1. Даны два знакоположительных ряда:

Если " an≥bn, то

а)

б)

Доказательство. Пусть сходится и , тогда , т.к.

ограничен сверху S. Кроме того последовательность SN ↑, т.к. SN+1=SN+bn+1 и SN+1 - SN= bn+1≥0

1) Un ↑ и ограничено сверху => $ limSn=S, т.о.

2) от противного: если an сходится, то найдется и bn, что противоречит условию=> an расх.

2. Признак сравнения в предельной форме.

Док-во. Пусть т.е. " e $ N: при a≥N . Выберем e и возьмем N: Просуммируем.

Если сход. => сход => меньший ряд тоже сход.=> сход.=> сход. Обратное (расх.) аналогично.

Знакоположительные числовые ряды. Признак Даламбера.

Признак Даламбера:

Доказательство.

Знакоположительные числовые ряды. Радикальный признак Коши.

Док-во. Пусть $ , т.е. " e $ N, "n≥N; ; выберем e<q и раскроем модуль. => просуммируем

, тогда 1) q<1 выберем e так, что q+e<1, тогда правый сход, как геометрический и сход, как линейный. 2) q>1 выберем e так, что q-e<1, тогда левый ряд расх, как геометрический с множителем >1 и тоже расходится как больший ряд.

Таким образом получаем:

Знакоположительные числовые ряды. Интегральный признак Коши.

суммируем то, что получилось:

Если интеграл сходится, то сходится и меньший ряд => сходится и исходный ряд.

Если интеграл расходится, то расходится и больший ряд .

Исследование ряда Дирихле.

Следствие. Ряд Дирихле:

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема сходимости знакопеременного ряда.

- числовой ряд, содержащий бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных рядов, называется знакопеременным.

ряд сходится абсолютно, если сходится ряд

Теорема.Если сходится абсолютно, то он и просто сходится, т.е. сход => сходится.

Доказательство. Пусть S+ - сумма положительных элементов, S- - сумма отрицательных элементов (по модулю). Тогда Sn= S++ S-= существует. S+ и S- возрастают соответственно, причем S+≤ Sn и S- ≤Sn, т. о. последовательности S+ и S- и ограничены Sn

Эти послед-ти имеют пределы. S+ и S- - сходятся.

- разность сходящихся рядов сходится.

Обратное неверно. расх. ≠> расх.

Определение. Если сходится, а расходится, такая сходимость называется условной.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда. Схема исследования на абсолютную и словную сходимость.

сходится, если: а) |an|¯ ; б)

Док-во. a1-a2+a3-a­4+a5-a6+… сгруппируем члены попарно:

с другой стороны: a1-a2+a3-a­4+a5-a6+…=a1-(a2-a3)-(a4-a5)-…<a1, т.е. сумма ряда ограничена.

V1= a2-a3>0; V2= a4-a5>0; S2n=U1+U2…+Un ↑= a1-V1-V2…-Vn-a2n<a1 ↑ и ограничена последовательностью S2n имеет предел S.

Определение. Если сход, а расх., такая сходимость называется условной.

Схема исследования:а) проверяем на абсолютную сходимость. Если абс. сход, то исследование закончено, если нет, то б) применяем признак Лейбница и получим: либо ряд сходится условно, либо ряд расх.

Функциональные ряд, область сходимости.

совокупность точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда. Как правило, по Даламберу.

 

 

Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

от (1) к (2) легко перейти, сделав замену t=x - x0

Теорема Абеля. а) если x1 – точка сходимости ряда (2), то " x: |x|<|x1| - ряд сходится.

б) если x2 – точка расходимости ряда (2), то " x: |x|>|x2| - ряд расходится.

 

Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена. Остаточный член ряда Тейлора, его структура.

Пусть есть f(x) такая, что $ f(x0) f’(x0)… f(n)(x0) тогда ряд Тейлора для f(x) в точке x0

Если f(x) – бесконечно дифференцируема, то ряд Тейлора для нее бесконечен.

Если x=0 – такой ряд называется рядом Маклорена.

Найдем оценку для

35. Разложение в ряд Маклорена показательных функций f(x)=ex, f(x)=chx, f(x)=sh(x)

36. Разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций: f(x)=sinx, f(x)=cosx.

Формула Эйлера.

выделим действительную и мнимую части

38. Разложение в ряд Маклорена функций и .

, предполагая, что в формуле (64.7) a= - 1; x=-x, тогда

тогда

39. Разложение в ряд Маклорена логарифмических функций: y=ln(1+x),

y=ln(1-x), y=ln .

40. Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции f(x)=(1+x)m, где m- произвольное действительное число.

, предполагая, что в формуле (64.7) a= - 1; x=-x, тогда

тогда

 

41. Разложение в ряд Маклорена обратных тригонометрических функций: y=arctgx; y=arcsinx.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.132.225 (0.009 с.)