Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Знакоположительные числовые ряды. Признак сравнения (две формы).

1. Даны два знакоположительных ряда:

Если " a_n≥b_n, то

а)

б)

Доказательство. Пусть сходится и , тогда , т.к.

ограничен сверху S. Кроме того последовательность S_N ↑, т.к. S_N+1=S_N+b_n+1 и S_N+1 - S_N= b_n+1≥0

1) U_n ↑ и ограничено сверху => $ limS_n=S, т.о.

2) от противного: если a_n сходится, то найдется и b_n, что противоречит условию=> a_n расх.

2. Признак сравнения в предельной форме.

Док-во. Пусть т.е. " e $ N: при a≥N . Выберем e и возьмем N: Просуммируем.

Если сход. => сход => меньший ряд тоже сход.=> сход.=> сход. Обратное (расх.) аналогично.

Знакоположительные числовые ряды. Признак Даламбера.

Признак Даламбера:

Доказательство.

Знакоположительные числовые ряды. Радикальный признак Коши.

Док-во. Пусть $ , т.е. " e $ N, "_n≥N; ; выберем e<q и раскроем модуль. => просуммируем

, тогда 1) q<1 выберем e так, что q+e<1, тогда правый сход, как геометрический и сход, как линейный. 2) q>1 выберем e так, что q-e<1, тогда левый ряд расх, как геометрический с множителем >1 и тоже расходится как больший ряд.

Таким образом получаем:

Знакоположительные числовые ряды. Интегральный признак Коши.

суммируем то, что получилось:

Если интеграл сходится, то сходится и меньший ряд => сходится и исходный ряд.

Если интеграл расходится, то расходится и больший ряд .

Исследование ряда Дирихле.

Следствие. Ряд Дирихле:

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема сходимости знакопеременного ряда.

- числовой ряд, содержащий бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных рядов, называется знакопеременным.

ряд сходится абсолютно, если сходится ряд

Теорема. Если сходится абсолютно, то он и просто сходится, т.е. сход => сходится.

Доказательство. Пусть S₊ - сумма положительных элементов, S_- - сумма отрицательных элементов (по модулю). Тогда S_n= S₊+ S_-= существует. S₊ и S_- возрастают соответственно, причем S₊≤ S_n и S_- ≤S_n, т. о. последовательности S₊ и S_- и ограничены S_n

Эти послед-ти имеют пределы. S₊ и S_- - сходятся.

- разность сходящихся рядов сходится.

Обратное неверно. расх. ≠> расх.

Определение. Если сходится, а расходится, такая сходимость называется условной.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда. Схема исследования на абсолютную и словную сходимость.

сходится, если: а) |a_n|¯; б)

Док-во. a₁-a₂+a₃-a­₄+a₅-a₆+… сгруппируем члены попарно:

с другой стороны: a₁-a₂+a₃-a­₄+a₅-a₆+…=a₁-(a₂-a₃)-(a₄-a₅)-…<a₁, т.е. сумма ряда ограничена.

V₁= a₂-a₃>0; V₂= a₄-a₅>0; S_2n=U₁+U₂…+U_n ↑= a₁-V₁-V₂…-V_n-a_2n<a₁ ↑ и ограничена последовательностью S_2n имеет предел S.

Определение. Если сход, а расх., такая сходимость называется условной.

Схема исследования:а) проверяем на абсолютную сходимость. Если абс. сход, то исследование закончено, если нет, то б) применяем признак Лейбница и получим: либо ряд сходится условно, либо ряд расх.

Функциональные ряд, область сходимости.

совокупность точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда. Как правило, по Даламберу.

 

 

Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

от (1) к (2) легко перейти, сделав замену t=x - x₀

Теорема Абеля. а) если x₁ – точка сходимости ряда (2), то " x: |x|<|x₁| - ряд сходится.

б) если x₂ – точка расходимости ряда (2), то " x: |x|>|x₂| - ряд расходится.

 

Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена. Остаточный член ряда Тейлора, его структура.

Пусть есть f(x) такая, что $ f(x₀) f’(x₀)… f⁽ⁿ⁾(x₀) тогда ряд Тейлора для f(x) в точке x₀

Если f(x) – бесконечно дифференцируема, то ряд Тейлора для нее бесконечен.

Если x_0­=0 – такой ряд называется рядом Маклорена.

Найдем оценку для

35. Разложение в ряд Маклорена показательных функций f(x)=e^x, f(x)=chx, f(x)=sh(x)

36. Разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций: f(x)=sinx, f(x)=cosx.

Формула Эйлера.

выделим действительную и мнимую части

38. Разложение в ряд Маклорена функций и .

, предполагая, что в формуле (64.7) a= - 1; x=-x, тогда

тогда

39. Разложение в ряд Маклорена логарифмических функций: y=ln(1+x),

y=ln(1-x), y=ln .

40. Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции f(x)=(1+x)^m, где m- произвольное действительное число.

, предполагая, что в формуле (64.7) a= - 1; x=-x, тогда

тогда

 

41. Разложение в ряд Маклорена обратных тригонометрических функций: y=arctgx; y=arcsinx.