Функциональные последовательности и ряды. Функциональные свойства суммы функционального ряда.

11.1. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

11.2. Степенной ряд в комплексной области. Первая теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара.

11.3. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Ряды Фурье.

12.1. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Понятие полноты и замкнутости ортогональных систем функций.

12.2. Ряд Фурье по тригонометрической системе периода .

Кратные и криволинейные интегралы.

13.1. Кратные интегралы Римана, условия интегрируемости. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.

13.2. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их выражение через определенный интеграл.

13.3. Формула Грина о связи между двойным и криволинейным интегралами. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.

Системы линейных дифференциальных уравнений.

14.1. Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений.

14.2. Теорема об общем решении линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения.

14.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Матричный метод.

Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.

15.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

16. Устойчивость решений системы линейных
дифференциальных уравнений.

16.1. Автономные системы на плоскости (типы точек покоя).

16.2. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.

16.3. Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

16.4. Устойчивость по первому приближению. Второй метод Ляпунова.

Одномерные и двумерные многообразия.

17.1. Задание линии в E , натуральная параметризация и ее свойства. Вектор кривизны и кривизна линии.

17.2. Формулы Френе. Геометрически-механический смысл кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях (без доказательства).

17.3. Задание поверхности в E , касательная плоскость и нормаль. Первая квадратичная форма и ее применения. Изометрическое преобразование поверхности (изгибание), основные инварианты.

17.4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на плоскости. Главные, полная и средняя кривизны.

Топологические пространства.

18.1. Определение и примеры топологического пространства. Топология метрического пространства. Индуцированная топология. Классификация точек относительно подмножества в топологическом пространстве.

18.2. Непрерывные отображения, их свойства. Гомеоморфизм.

18.3. Предел последовательности в топологическом пространстве, единственность предела в хаусдорфовом пространстве.

18.4. Связность, компоненты связности в топологическом пространстве. Связные множества в .

18.5. Компактность, теорема о компактности в . Свойства функций, непрерывных на компактном множестве.

Дифференцируемые многообразия.

19.1. Определение и примеры n -мерного дифференцируемого многообразия.

19.2. Касательное и кокасательное пространства. Векторные поля и траектории.

19.3. Аффинная связность на . Ковариантные производная и дифференциал. Параллельный перенос вектора. Геодезические.

Теория меры.

20.1. Измеримые функции действительного переменного. Сходимость почти всюду, сходимость по мере. Их свойства.

Интеграл Лебега.

21.1. Интеграл Лебега от функции действительного переменного. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

21.2. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.