Специальности 010101 – математика

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ПРОГРАММА

 

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010101 – МАТЕМАТИКА

 

САРАНСК 2012

Основные алгебраические структуры (группа, кольцо, поле).

1.1. Определение группы, кольца, поля; основные утверждения; примеры этих структур на , , , , , множестве числовых функций, геометрических и других преобразований.

1.2. Делители нуля в кольце. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических структур.

2. Кольцо многочленов. Разложение многочлена в произведение
неприводимых.

2.1. Кольцо многочленов (от одной и нескольких переменных) над данным кольцом и полем.

2.2. Теорема делимости многочленов (теорема о делении с остатком, НОД, НОК, алгоритм Евклида, критерий взаимной простоты).

2.3. Корни многочлена. Теорема Безу и её следствие. Схема Горнера. Кратность корня, выделение кратных множителей. Многочлены, неприводимые над и .

2.4. Корни из единицы над полем , их свойства (группы, первообразные корни, цикличность). Основная теорема алгебры (без доказательства).

2.5. Поле частных кольца многочленов. Разложение дроби на простейшие.

2.6. Симметрические многочлены от неизвестных, основная теорема.

3. Линейные пространства (базис, размерность), линейные
операторы. Системы линейных уравнений.

3.1. Линейное пространство, основные примеры (геометрические, матричные, функциональные). Линейная зависимость, размерность, базис, разложение вектора по базису. Замена базиса и преобразование координат вектора. Изоморфизм линейных пространств.

3.2. Линейные отображения (морфизмы) и линейные операторы, их матрицы, матричное и координатное представление, преобразование матрицы линейных операторов при замене базиса. Основные понятия – , , , и утверждения о них.

3.3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов, инвариантные подпространства.

3.4. Общая теория линейных систем алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли, связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем, фундаментальная система решений).

Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

4.1. Билинейные и квадратичные формы, их матричные и координатные представления. Преобразования матриц Б-Л-Ф и К-Ф при замене базиса. Полярные билинейная и квадратичная формы.

4.2. Приведение квадратичной формы к каноническому (метод Лагранжа) и к нормальному видам. Теорема об инерции квадратичных форм (без доказательства).

5. Евклидовы пространства. Ортогонализация и нормирование
базиса.

5.1. Евклидово линейное пространство. Неравенство Шварца-Коши-Буняковского. Примеры задания евклидовой структуры в пространствах матриц и вещественных функций . Матрица и определитель Грама.

5.2. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогонализация линейно-независимой системы векторов. Формула скалярного произведения и нормы вектора в произвольном и ортонормированном базисах. Ортогональные матрицы как матрицы преобразования ортонормированных базисов.

5.3. Ортогональные преобразования , их свойства и классификация в и .

5.4. Самосопряженные операторы, их свойства.

Пределы числовых последовательностей и функций.

6.1. Предел числовой последовательности, предел функции. Предельные точки множеств. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Интеграл Римана.

9.1. Определение интеграла по Риману. Условия интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

9.2. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

9.3. Приложения интеграла (площадь, длина дуги, объем).

9.4. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру.

Числовые ряды.

10.1. Числовой ряд, сходимость и сумма ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

10.2. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения, интегральный признак. Гармонический ряд.

10.3. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка ряда лейбницевского вида.

Ряды Фурье.

12.1. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Понятие полноты и замкнутости ортогональных систем функций.

12.2. Ряд Фурье по тригонометрической системе периода .

Теория меры.

20.1. Измеримые функции действительного переменного. Сходимость почти всюду, сходимость по мере. Их свойства.

Интеграл Лебега.

21.1. Интеграл Лебега от функции действительного переменного. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

21.2. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Случайные процессы.

29.1. Случайные процессы, их виды. Функция распределения. Моменты. Корреляционные функции и спектральные плотности.

29.2. Цепи Маркова.

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ПРОГРАММА

 

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010101 – МАТЕМАТИКА

 

САРАНСК 2012