Причини, що зумовлюють необхідність моделювання.

Визначення моделі.

Моделлю (від лат. - зразком) деякої системи називається штучна система абооб'єкт, що в певних умовах може замінити систему-оригінал (об'єкт) шляхом відтвореннявластивостей іхарактеристик оригіналу, які цікавлять дослідника, колитака заміна дає істотні переваги йу зручності дослідження. Таким чином, модель - це: представленняоб'єкта, системи чи ідеї в певній формі, що відрізняється відреальної, а головною характеристикою кожної моделі можнавважати спрощенняреальної ситуації в економіці, техніці чи технології, упр-нні і т. п.

Допричин, якізумовлюють необхідність використання моделей належать не тільки складність прийняття управлінських рішень в реальних умовах, а й необхідність прогнозування майбутніх результатів, що ніякнеможливо зробити на оригіналі, навіть нескладному.Трапляються також ситуації, коли бажано випробувати йекспериментально перевірити деякі альтернативні варіанти вирішення проблеми. Останнє особливо стосується нових проектів чи дослідних зразків техніки. Моделювання - це систематизований засіб побачити варіанти майбутнього івизначити потенційні наслідки від альтернативних рішень.

З означення слідує, що модель є широким поняттям. Для одного й того ж об'єкта можуть бути потрібнірізні моделі бо переслідуються різні цілі при дослідженні таприйняті рішень. З точки зору прийняття рішень з різногороду економічних проблем намікро- макрорівнях використовують аналогове та символічне моделюванні.

Аналогова модель імітує досліджуванийоб'єкт певним графіком чи схемою. Наприклад, вибудовуючиорганізаційну структуру підприємства, керівники легко можуть уявити проходження як наказів, так і формальне підпорядкування своїх підлеглих. Графік обсяги виробництва - витрати " дає можливість не тільки оцінити залежність однієї величини від іншої, а й визначити тойкритичний обсяг виробництва певного виду продукції, нижче якого підприємству не вигідно виробляти цю продукцію через збитки.

У символічній (математичній) моделі використовуються формули дляопису характеристикчи властивостей об'єкта. Цей тип моделей найчастіше використовується на практиці. Наприклад, проста формула коефіцієнта фондовіддачі є економічноюмоделлю продуктивності роботи обладнаннязапевни, період часу по підприємству.

Причини, що зумовлюють необхідність моделювання.

У всі періоди історії НТП складність завдань накопичення та обробки необхідної інформації, математичного моделювання та прийняття оптимальних рішень у всіх галузях суспільного виробництва зростала швидше, ніж усі інші виробничі показники, зокрема кількість людей, зайнятих розв'язанням таких завдань. Ця закономірність спричиняється постійним зростанням економічних взаємозв'язків між господарськими ланками, науково-технічною складовою, прогресом самого виробництва і, як наслідок, — постійним зростанням кількості та складності інформації, у результаті обробки та осмислення котрої приймаються адекватні рішення а саме:

1)Складність прийняття рішень в реальних умовах.

2) Необхідність прогнозування майбутніх результатів.

3)Необхідність перевірки альтернативних варіантів управлінських рішень.

4)складністю реального світу, виробничо-господарської діяльності;

5)наявністю багатофакторних залежностей у процесі розв’язання управлінських завдань;

6)необхідністю експериментальної перевірки альтернативних управлінських рішень;

7)доцільністю орієнтувати управління на майбутнє.

Моделювання направлене на синтез результатів аналітичного пізнання, внаслідок чого описуються загальні закони і закономірності, стабільні властивості елементів і зв'язків у процесі функціонування або розвитку досліджуваного явища. Моделювання є основною і неодмінною умовою розвитку аналізу.

 

3.Поняття процесу моделювання.

Процес математичного моделювання можна поділити на чотири етапи.

Перший етап — формулювання законів, за якими зв'язуються між собою основні об'єкти моделі. Він вимагає широкого знання фактів відносно досліджуваного явища і глибокого проникнення в їх взаємозв'язок. Як правило, досліджуване явище супроводжується великою кількістю взаємодій між багатьма об'єктами явища. Простежити за всіма об'єктами і зв'язками між ними дуже важко й громіздко. Тому досліднику необхідно виділити основні об'єкти і основні взаємодії між ними для того, щоб математична модель була доступною для подальшого вивчення. Цей етап завершується записом у математичній формі сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі.

Другий етап — дослідження математичних задач, до яких зводиться математична модель. Основним тут є розв'язування прямої задачі, тобто одержання в результаті аналізу моделі вихідних даних для подальшого їх зіставлення з результатами спостережень досліджуваного явища. На цьому етапі важливу роль відіграє математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка — потужний засіб для одержання кількісної вихідної інформації як результату розв'язування складних математичних задач. При цьому широко застосовуються методи обчислювальної математики.

Отже, на цьому етапі дослідник повинен вибрати перш за все апарат для розв'язання сформульованої на першому етапі математичної задачі, а потім розробити алгоритм розв'язання задачі на ПЕОМ.

Третій етап — перевірка, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерій практики, тобто перевірка, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнятою.

Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються невизначеними. Задачі, в яких визначаються характеристики моделі таким чином, щоб вихідна інформація була порівняною в межах точності спостережень з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються оберненими задачами. Якщо математична модель така, що ні при якому виборі характеристик ці умови не можна задовольнити, то модель неприйнятна для дослідження цих явищ.

Застосування критерію практики для оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, які лежать в основі моделі, яку треба вивчати. Цей метод є єдиним методом вивчення не доступних нам безпосередньо явищ макро- і мікросвіту.

Четвертий етап — подальший аналіз моделі в зв'язку з накопиченням даних про досліджувані явища і модернізація моделі. У процесі розвитку науки і техніки дані про досліджувані явища все більше і більше уточнюються і наступає момент, коли висновки, одержані на основі існуючої математичної моделі, не відповідають нашим знанням про явище. Тоді виникає необхідність побудови нової більш досконалої математичної моделі.

Таблиця 6.1

Базис	С баз	План	c 1	c 2	...	cm	cm + 1	...	cn
х 1	х 2	...	хm	хm + 1	...	хn
х 1	c 1	b 1			...		a 1 m + 1	...	a 1 n
х 2	c 2	b 2			...		a 2 m + 1	...	a 2 n
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
хm	cm	bm			...		amm + 1	...	amn

Змінні — базисні, а — вільні. Оптимальний план задачі: . Якщо — цілі числа, то отриманий розв’язок є цілочисловим оптимальним планом задачі (6.5)—(6.8). Інакше існує хоча б одне з чисел, наприклад, — дробове. Отже, необхідно побудувати правильне обмеження, що відтинає нецілу частину значення .

Розглянемо довільний оптимальний план задачі (6.5) —(6.7). Виразимо в цьому плані базисну змінну через вільні змінні:

. (6.9)

Виразимо коефіцієнти при змінних даного рівняння у вигляді суми їх цілої та дробової частин. Введемо позначення: — ціла частина числа b, — дробова частина числа b [1]. Отримаємо:

, (6.10)

або

. (6.11)

Отже, рівняння (6.11) виконується для будь-якого допустимого плану задачі (6.5)—(6.7). Допустимо тепер, що розглянутий план є цілочисловим оптимальним планом задачі. Тоді ліва частина рівняння (6.11) складається лише з цілих чисел і є цілочисловим виразом. Отже, права його частина також є цілим числом і справджується рівність:

, (6.12)

де N — деяке ціле число.

Величина N не може бути від’ємною. Якщо б , то з рівняння (6.12) приходимо до нерівності:

.

Звідки . Тобто це означало б, що дробова частина перевищує одиницю, що неможливо. У такий спосіб доведено, що число N є невід’ємним.

Якщо від лівої частини рівняння (6.12) відняти деяке невід’ємне число, то приходимо до нерівності:

, (6.13)

[1] Цілою частиною числа а називається найбільше ціле число , що не перевищує а. Дробовою частиною є число , яке дорівнює різниці між самим числом а та його цілою частиною, тобто . Наприклад, для , ;

для , .

яка виконується за допущенням для будь-якого цілочислового плану задачі (6.5)—(6.7). У такий спосіб виявилося, що нерівність (6.13) є шуканим правильним відтинанням.

Отже, для розв’язування цілочислових задач лінійного програмування (6.1)—(6.4) методом Гоморі застосовують такий алгоритм:

1. Симплексним методом розв’язується задача без вимог цілочисловості змінних — (6.1)—(6.3).

Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей план є розв’язком задачі цілочислового програмування (6.1)—(6.4).

Якщо задача (6.1)—(6.3) не має розв’язку (цільова функція необмежена, або система обмежень несумісна), то задача (6.1) — (6.4) також не має розв’язку.

2. Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирається змінна, яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної (елементів відповідного рядка останньої симплексної таблиці, в якому вона міститься) будується додаткове обмеження Гоморі:

.

3. Додаткове обмеження після зведення його до канонічного вигляду і введення базисного елемента приєднується до останньої симплексної таблиці, яка містить умовно-оптимальний план. Отриману розширену задачу розв’язують і перевіряють її розв’язок на цілочисловість. Якщо він не цілочисловий, то процедуру повторюють, повертаючись до п. 2. Так діють доти, доки не буде знайдено цілочислового розв’язку або доведено, що задача не має допустимих розв’язків на множині цілих чисел.

У літературі [12, 27] доведено, що за певних умов алгоритм Гоморі є скінченним, але процес розв’язування задач великої розмірності методом Гоморі повільно збіжний. Слід також мати на увазі, що і кількість ітерацій суттєво залежить від сформованого правильного відтинання. Наведене правило (6.13) щодо фор­мування правильного відтинання не єдине. Існують ефективніші відтинання, які використовуються у другому та третьому алгорит­мах Гоморі [12, 27], однак наявний практичний досвід ще не дає змоги виділити з них найкращий.

Загалом, алгоритм Гоморі в обчислювальному аспекті є мало вивченим. Якщо в лінійному програмуванні спостерігається відносно жорстка залежність між кількістю обмежень задачі та кількістю ітерацій, що необхідна для її розв’язування, то для цілочислових задач такої залежності не існує. Кількість змінних також мало впливає на трудомісткість обчислень. Очевидно, процес розв’язання цілочислової задачі визначається не лише її розмірністю, а також особливостями багатогранника допустимих розв’язків, що являє собою набір ізольованих точок.

Як правило, розв’язування задач цілочислового програмування потребує великого обсягу обчислень. Тому при створенні програм для ЕОМ особливу увагу слід приділяти засобам, що дають змогу зменшити помилки округлення, які можуть призвести до того, що отриманий цілочисловий план не буде оптимальним.

Метод диференціальних рент.

Якщо при визначенні оптимального плану транспортної задачі методом потенціалів спочатку перебував який-небудь її опорний план, а потім він послідовно поліпшувався, то при знаходженні вирішення транспортної задачі методом диференціальних рент спочатку найкращим чином розподіляють між пунктами призначення частина вантажу (так зване умовно оптимальний розподіл) і на ітераціях поступово зменшують загальну величину нерозподілених поставок. Початковий варіант розподілу товару виділяють таким чином. В кожному із стовбців таблиці даних ТЗ знаходять мінімальний тариф. Знайдені числа обводять кружечком, а клітинки, в яких знаходяться вказані числа, заповнюють. В них записують максимально можливі числа. В результаті отримують деякі розподілення поставок вантажу в місцях призначення. Цей розподіл в даному випадку не задовольняє обмеженням вихідної ТЗ. Тому в результаті наступних кроків потрібно поступово зменшувати не розподілені поставки вантажу так, щоби при цьому загальна вартість перевезень залишалася мінімальною. Для цього спочатку виділяють збиткові і неостаточні рядки.

Рядки, які відповідають поставникам, запаси яких повністю розподілені, а потреби пункту призначення, зв'язаних з даними потребами запланованими поставками, не задовільнені, недостатними. Ці рядки деколи називають також від'ємними. Рядки, запаси яких вичерпані не повністю, рахуються збитковими. Деколи їх називають також додатними.
Після того як виділені збиткові і неостаточні рядки, для кожного із стовпців находять різницю між числом в кружечку і найближчим до нього тарифом, записаним в збитковому рядку. Якщо число в кружку знаходиться в позитивному рядку, то різницю не виділяють. Серед отриманих чисел знаходять найменше. Це число називається проміжною рентою. Після виділення проміжної ренти переходять до нової таблиці. Ця таблиця виходить із попередньої таблиці додаванням до відповідних тарифів, які стоять в негативних рядках проміжної ренти. Інші елементи залишаються такими як були. При цьому всі клітинки нової таблиці рахуються вільними. Після побудови нової таблиці починають заповнювати її клітинки. Тепер уже число заповнених клітинок на одну більше, ніж на попередньому етапі. Ця додаткова клітинка знаходиться в стовпці в якому була записана проміжна рента. Всі інші клітинки знаходяться по одній в кожному стовпці і в них записані найменші для даного стовпця числа, обведені в кружок. Обведені в кружки і два однакових числа, стоячих в стовпці, в якому в попередній таблиці була записана проміжна рента.
Оскільки в новій таблиці число заповнених клітинок більше, ніж число стовпців, то при заповненні клітинок потрібно користуватися спеціальним правилом, яке полягає в іншому. Вибирають деякий стовпець (рядок), в якому знаходиться одна клітинка з поміщеним в ній кружком. Цю клітинку заповняють і виключають із розгляду даний стовпець (рядок). Після цього беруть деякий рядок (стовпець),в якому знаходиться одна клітинка з поміщеним в ній кружечком. Цю клітинку заповняють і виключають із розгляду даний рядок (стовпець). Продовжуючи так, після деякої кількості кроків заповнюють всі клітинки, в яких знаходяться кружечки з поміщеними в них числами. Якщо до того ж виходить розподілити весь товар, який знаходиться в пунктах відправлення, між пунктами призначення, то отримують оптимальний план ТЗ. Якщо ж оптимальний план не отриманий, то переходять до нової таблиці. Для цього знаходять збитковий і недостаточний рядок, проміж уточної ренти і на основі цього будують нову таблицю. При цьому можуть виникнути деякі труднощі при визначенні знака рядка, коли її нерозподілений залишок дорівнює нулю. В цьому випадку рядок рахують додатнім при умові, що друга заповнена клітинка, яка знаходиться в стовпці, зв'язаним з даним рядком і ще однією заповненою клітинкою, знаходиться в додатному рядку.

Після деякого числа описаних вище ітерацій нерозподілений залишок стає рівним нулю. В результаті отримують оптимальний план даної ТЗ.

Описаний вище метод розв'язання ТЗ має більш просту логічну схему розрахунків, чим розглянутий вище метод потенціалів. Тому в більшості випадків для знаходження розв'язку конкретних ТЗ з використанням ЄВМ використовують метод диференціальних рент.

 

31.Суть методу потенціалів.

Метод потенціалів дозволяє, виходячи з деякого опорного плану перевезень, побудувати за скінчене число ітерацій рішення транспортної задачі шляхом послідовного переходу від опорного плану до оптимального.

Загальна схема методу така. У даному початковому опорному плані кожному пункту ставлять у відповідність деяке число, яке називається його попереднім потенціалом. Попередні потенціали обирають так, щоб їх різниця для будь-якої пари пунктів Аi и Вj, пов’язаних основною комунікацією, дорівнювала с_ij. Якщо відбудеться так, що різниця попередніх потенціалів для всіх інших комунікацій не перевищує с_ij, то даний план перевезень – оптимальне рішення задачі. У противному випадку вказують спосіб покращення опорного плану транспортної задачі.

Теорема Куна-Такера.

Теорема Куна—Таккера дає змогу встановити типи задач, для яких на множині допустимих розв’язків існує лише один глобальний екстремум зумовленого типу. Вона тісно пов’язана з необхідними та достатніми умовами існування сідлової точки.

Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, подамо у вигляді:

, (8.22)

, (8.23)

. (8.24)

(Очевидно, що знак нерівності можна змінити на протилежний множенням лівої і правої частин обмеження на (– 1)).

Теорема 8.1. (Теорема Куна—Таккера). Вектор Х^* є оптимальним розв’язком задачі (8.22)—(8.24) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх точка є сідловою точкою функції Лагранжа

,

і функція мети для всіх угнута, а функції — опуклі.

Доведення. Необхідність. Нехай Х^* — оптимальний план задачі (8.22)—(8.24), тобто є точкою глобального максимуму задачі. Отже, для всіх інших планів задачі Х з множини допустимих розв’язків виконуватиметься співвідношення:

.

Розглянемо тепер вектор , що відповідає точці глобального максимуму , і значення функції Лагранжа в точках , , , де — довільний план задачі з множини допустимих розв’язків, — вектор множників Лагранжа, що відповідає Х.

З умови (8.21) маємо: , тоді

. (8.25)

Для точки з координатами деякі доданки виду можуть бути відмінними від нуля. Оскільки за умовою задачі , то лише за умови, що , матимемо нерівність:

.

Функція — лінійна відносно , тобто остання нерівність виконується для будь-якого . Отже, точка — точка глобального мінімуму по функції Лагранжа.

Для встановлення нерівності, що відповідає лівій частині умови (8.13), а саме: , скористаємося також рівнянням (8.21), підсумувавши його по і: . За умовою теореми — угнуті функції і , тому виконується таке рівняння:

Отже, у точці Х ^* функція Лагранжа має глобальний максимум по Х, що повністю доводить необхідність теореми.

Достатність. Для доведення достатності умов теореми потрібно виходити з того, що , — сідлова точка функції (тобто для виконується нерівність (8.13)), і необхідно довести, що тоді Х ^* є оптимальним планом задачі опуклого програмування.

Підставимо у нерівність (8.13) вираз функції Лагранжа (8.12) для задачі (8.22)—(8.23):

(8.26)

при всіх значеннях .

Розглянемо праву частину подвійної нерівності (8.26).

.

Остання нерівність має виконуватися для всіх . Крім того, , тобто нерівність справджується лише у разі, коли

.

Тоді з лівої частини нерівності (8.26) маємо:

.

Через те що , приходимо до нерівності , яка справджується для всіх значень .

Отже, точка Х ^* задовольняє обмеження і надає максимального значення цільовій функції задачі, тому що для всіх інших функція набуває менших значень, ніж у точці Х ^*, тобто вона є оптимальним планом задачі нелінійного програмування. Достатність умов тереми доведено.

Рис.3.6.1- Методика аналізу проблеми з використанням дерева цілей

Для оцінки очікуваної віддачі (або інший термін – післядії, а це може бути, наприклад, прибуток/збиток) використовується процедура, що має назву “зворотна індукція“. На вилці дій вибирається та гілка, яка має найбільше значення для очікуваної віддачі. Правостороння вилка дій (“не купувати” виключається) перекреслюється подвійною лінією. Починаючи праворуч від дерева, рухаємося над вузлами рішень.

Очікуваною цінністю досконалої інформації (Expected Value Perfect Information) називається різниця між очікуваною віддачею (від рішення) в умовах визначеності та в умовах ризику:

	Очікувана цінність в умовах визначеності		-		max EMV

 

 

Щоб визначити очікувану цінність в умовах визначеності, обираємо найкращу альтернативу для кожного стану природи і викликану нею віддачу перемножуємо на ймовірність появи цього стану природи:

 

 

 

 

Визначення моделі.

Моделлю (від лат. - зразком) деякої системи називається штучна система абооб'єкт, що в певних умовах може замінити систему-оригінал (об'єкт) шляхом відтвореннявластивостей іхарактеристик оригіналу, які цікавлять дослідника, колитака заміна дає істотні переваги йу зручності дослідження. Таким чином, модель - це: представленняоб'єкта, системи чи ідеї в певній формі, що відрізняється відреальної, а головною характеристикою кожної моделі можнавважати спрощенняреальної ситуації в економіці, техніці чи технології, упр-нні і т. п.

Допричин, якізумовлюють необхідність використання моделей належать не тільки складність прийняття управлінських рішень в реальних умовах, а й необхідність прогнозування майбутніх результатів, що ніякнеможливо зробити на оригіналі, навіть нескладному.Трапляються також ситуації, коли бажано випробувати йекспериментально перевірити деякі альтернативні варіанти вирішення проблеми. Останнє особливо стосується нових проектів чи дослідних зразків техніки. Моделювання - це систематизований засіб побачити варіанти майбутнього івизначити потенційні наслідки від альтернативних рішень.

З означення слідує, що модель є широким поняттям. Для одного й того ж об'єкта можуть бути потрібнірізні моделі бо переслідуються різні цілі при дослідженні таприйняті рішень. З точки зору прийняття рішень з різногороду економічних проблем намікро- макрорівнях використовують аналогове та символічне моделюванні.

Аналогова модель імітує досліджуванийоб'єкт певним графіком чи схемою. Наприклад, вибудовуючиорганізаційну структуру підприємства, керівники легко можуть уявити проходження як наказів, так і формальне підпорядкування своїх підлеглих. Графік обсяги виробництва - витрати " дає можливість не тільки оцінити залежність однієї величини від іншої, а й визначити тойкритичний обсяг виробництва певного виду продукції, нижче якого підприємству не вигідно виробляти цю продукцію через збитки.

У символічній (математичній) моделі використовуються формули дляопису характеристикчи властивостей об'єкта. Цей тип моделей найчастіше використовується на практиці. Наприклад, проста формула коефіцієнта фондовіддачі є економічноюмоделлю продуктивності роботи обладнаннязапевни, період часу по підприємству.

Причини, що зумовлюють необхідність моделювання.

У всі періоди історії НТП складність завдань накопичення та обробки необхідної інформації, математичного моделювання та прийняття оптимальних рішень у всіх галузях суспільного виробництва зростала швидше, ніж усі інші виробничі показники, зокрема кількість людей, зайнятих розв'язанням таких завдань. Ця закономірність спричиняється постійним зростанням економічних взаємозв'язків між господарськими ланками, науково-технічною складовою, прогресом самого виробництва і, як наслідок, — постійним зростанням кількості та складності інформації, у результаті обробки та осмислення котрої приймаються адекватні рішення а саме:

1)Складність прийняття рішень в реальних умовах.

2) Необхідність прогнозування майбутніх результатів.

3)Необхідність перевірки альтернативних варіантів управлінських рішень.

4)складністю реального світу, виробничо-господарської діяльності;

5)наявністю багатофакторних залежностей у процесі розв’язання управлінських завдань;

6)необхідністю експериментальної перевірки альтернативних управлінських рішень;

7)доцільністю орієнтувати управління на майбутнє.

Моделювання направлене на синтез результатів аналітичного пізнання, внаслідок чого описуються загальні закони і закономірності, стабільні властивості елементів і зв'язків у процесі функціонування або розвитку досліджуваного явища. Моделювання є основною і неодмінною умовою розвитку аналізу.

 

3.Поняття процесу моделювання.

Процес математичного моделювання можна поділити на чотири етапи.

Перший етап — формулювання законів, за якими зв'язуються між собою основні об'єкти моделі. Він вимагає широкого знання фактів відносно досліджуваного явища і глибокого проникнення в їх взаємозв'язок. Як правило, досліджуване явище супроводжується великою кількістю взаємодій між багатьма об'єктами явища. Простежити за всіма об'єктами і зв'язками між ними дуже важко й громіздко. Тому досліднику необхідно виділити основні об'єкти і основні взаємодії між ними для того, щоб математична модель була доступною для подальшого вивчення. Цей етап завершується записом у математичній формі сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі.

Другий етап — дослідження математичних задач, до яких зводиться математична модель. Основним тут є розв'язування прямої задачі, тобто одержання в результаті аналізу моделі вихідних даних для подальшого їх зіставлення з результатами спостережень досліджуваного явища. На цьому етапі важливу роль відіграє математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка — потужний засіб для одержання кількісної вихідної інформації як результату розв'язування складних математичних задач. При цьому широко застосовуються методи обчислювальної математики.

Отже, на цьому етапі дослідник повинен вибрати перш за все апарат для розв'язання сформульованої на першому етапі математичної задачі, а потім розробити алгоритм розв'язання задачі на ПЕОМ.

Третій етап — перевірка, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерій практики, тобто перевірка, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнятою.

Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються невизначеними. Задачі, в яких визначаються характеристики моделі таким чином, щоб вихідна інформація була порівняною в межах точності спостережень з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються оберненими задачами. Якщо математична модель така, що ні при якому виборі характеристик ці умови не можна задовольнити, то модель неприйнятна для дослідження цих явищ.

Застосування критерію практики для оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, які лежать в основі моделі, яку треба вивчати. Цей метод є єдиним методом вивчення не доступних нам безпосередньо явищ макро- і мікросвіту.

Четвертий етап — подальший аналіз моделі в зв'язку з накопиченням даних про досліджувані явища і модернізація моделі. У процесі розвитку науки і техніки дані про досліджувані явища все більше і більше уточнюються і наступає момент, коли висновки, одержані на основі існуючої математичної моделі, не відповідають нашим знанням про явище. Тоді виникає необхідність побудови нової більш досконалої математичної моделі.