Производственная функция Кобба-Дугласа

ПФ Кобба-Дугласа относится к классу степенных функций, впервые она была предложена П. Дугласом и Ч.Коббом в 1928 году и получена путем проведения статистического анализа соотношения между динамикой физического объема продукции, размером основного капитала и количества человекочасов, отработанных служащими США за период 1899-1922 гг. Дуглас и Кобб обнаружили, что связь между производительностью труда (Y/L) и фондовооруженностью (Y/K) описывается зависимостью вида:

, из которой следует, что:

, где a<1 (4.6)

Иногда функция (4.7) представляется в виде:

При использовании этой классической ПФ предполагались следующие допущения:

1) существование совершенной конкуренции на рынке труда, капитала и продукта;

2) поведение производителя направлено на максимизацию прибыли;

3) неизменность эффективности единиц труда и капитала;

4) неизменность эффективности использования факторов производства (отсутствие НТП);

5) возможность замещения одним фактором производства другого.

 

Рассмотрим рассмотренные ранее характеристики ПФ для функции Кобба-Дугласа.

1. Средний продукт капитала иди средняя фондоотдача:

2. Средний продукт труда или средняя производительность труда:

3. Предельный продукт капитала:

4. Предельный продукт труда:

5. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу:

и

Следовательно, для ПФ Кобба-Дугласа высокая эластичность по труду соответствует низкой эластичности по капиталу.

6. Функция Кобба-Дугласа является однородной функцией со степенью, равной единице:

, значит δ=1.

Напомним также, что из этого свойства следует, что функция Кобба-Дугласа является линейно-однородной: и

Можно дать следующую экономическую интерпретацию этого свойства: пусть Y – национальный доход, тогда линейность будет означать, что весь произведенный национальный продукт распределяется на платежи за использованный капитал (основные производственные фонды) и труд (оплата труда). То есть предельная производительность труда MY_L может рассматриваться как ставка заработной платы, а предельная производительность капитала MY_К - как компенсация издержек, приходящихся на единицу использованного оборудования, а коэффициенты эластичности E_K и E_L могут быть интерпретированы как доля компенсации издержек за использования основный производственных фондов (a) и доля оплаты труда (1-a) в национальном доходе. (То есть в степенной ПФ показатель степени будет являться коэффициентом эластичности по соответствующему фактору).

7. Средний продукт масштаба производства:

8. Предельный продукт масштаба производства:

Соответственно:

Следовательно, предельный и средний продукт масштаба производства равны, значит, эффективность системы, описываемой ПФ Кобба-Дугласа не зависит от изменения масштаба производства.

9. Изокванты ПФ Кобба-Дугласа:

Так как , то

и

Асимптотами изоквант функции Кобба-Дугласа будут являться оси координат, так как:

и

Следовательно, для ПФ Кобба-Дугласа существует возможность полной замены фактора труда фактором капитала.

10. Предельная норма замещения труда капиталом:

11. Изоклины ПФ Кобба-Дугласа:

Рис 4.4

На Рис 4.4 показаны два случая, соответствующие высокой эластичности по труду (слева) и высокой эластичности капиталу, что также можно охарактеризовать как трудоемким и капиталоемким производственным процессом. Соответственно, чем выше значение a, тем больше угол наклона изоклины, тем выше эластичность продукта по капиталу.

12. Эластичность замещения труда капиталом для ПФ Кобба-Дугласа всегда равна единице:

Значит, увеличение фондовооруженности труда на 1% приведет к увеличению предельной нормы замещения труда капиталом на 1%. (Единичная эластичность замещения труда капиталом характерна для ПФ, выраженных степенными функциями).

 

В заключение отметим, что в 1942 году Тинбергеном Я. была получена модифицированная ПФ Кобба-Дугласа, задающая экспоненциальный рост продукта во времени при постоянных затратах труда и капитала с учетом влияния НТП:

,

где k – параметр, определяющий влияние НТП на эффективность преобразования факторов в продукт.

В практическом применении ПФ Кобба-Дугласа используется для моделирования среднемасштабных производственных систем с устойчивым и стабильным функционированием.