Производственная функция Леонтьева

Данный вид ПФ описывает жесткий производственный процесс с постоянными пропорциями факторов, когда потребляемые факторы производства являются идеальными комплементами, то есть замена таких факторов друг другом невозможна.

ПФ Леонтьева жесткость производственного процесса задается следующим функциональным соотношением:

, где a и b – положительные константы, которые определяют количество единиц капитала и труда, необходимое для производства единицы продукта. Величина продукта согласно этой функциональной зависимости определяется лимитирующим фактором из-за жесткости технологического процесса, который и задается минимальным количеством продукта, который может быть произведении из используемого количества труда и капитала.

Например, известно, что для производства единицы продукта требуется затратить 3 единицы труда и 5 единиц капитала. Тогда, чтобы произвести шесть единиц продукта, потребуется затратить 18 единиц труда и 30 единиц капитала. А сколько продукта может произвести система при затратах 18 единиц труда и 33 единиц капитала? Ответ дает функциональная зависимость:

Так как факторы являются абсолютными комплементами, то нельзя использовать избыток капитала (3 единицы) для производства продукта, так как существует дефицит труда, то есть труд является лимитирующим фактором. Графическая интерпретация представлена на Рис. 4.5, где показано изменение выпуска продукта при изменении затрат труда при фиксированном значении затрат капитала (K=33). Показано, что до точки L^* лимитирующим фактором являются затраты труда, в точке L^*=20 вклад труда и капитала становится равным , в дальнейшем увеличение выпуска продукции не происходит, так как лимитирующим фактором становятся затраты капитала.

Рис 4.5

Основными свойствами функции Леонтьева является: принадлежность к классу неоклассических ПФ, линейность и однородность ПФ, а также нулевая эластичность замещения труда капиталом.

Получим основные характеристики ПФ Леонтьева.

1. Средний продукт труда или средняя производительность труда (в области лимитирования производства продукта затратами труда):

Средний продукт труда или средняя производительность труда (в области лимитирования производства продукта затратами капитала):

2. Предельный продукт труда (в области лимитирования производства продукта затратами труда):

Предельный продукт труда (в области лимитирования производства продукта затратами капитала):

3. Коэффициенты эластичности по труду (в области лимитирования производства продукта затратами труда и капитала):

и

Таким образом, увеличение затрат труда на один процент приводит к увеличению производства продукта на один процент в области лимитирования производства затратами труда и не приводит к изменению выпуска в области лимитирования производства затратами капитала.

Полученные выше характеристики можно получить и для второго фактора – затрат капитала. В итоге эластичность продукта по капиталу и труду для ПФ Леонтьева всегда будет равна единице в области, лимитируемой рассматриваемым фактором, и равна нулю в области, лимитируемой дополнительным фактором.

4. Изокванта ПФ Леонтьева (см. Рис 4.6) образуется двумя лучами, выходящими из точки (K=Ya, L=Yb). При этом угловые точки соответствуют условию Ka=Lb и лежат на луче, выходящем из начала координат: . Фактически угловые точки образуют множество наиболее рационального использования факторов, когда труд и капитал используются в оптимальном соотношении.

Рис 4.6

ПФ Леонтьева используется в основном для моделирования мелкомасштабных производственных систем и для описания полностью автоматизированных производственных систем.

Линейнаяпроизводственная функция

Линейная ПФ применяется для описания гибких производственных процессов, в котором производственные факторы являются совершенными субститутами, то есть возможно полное замещение одного фактора другим. В этом случае ПФ выражается следующей зависимостью:

, где a>0, b>0.

Для линейной ПФ не выполняется первый критерий неоклассической функции, то есть в отсутствии одного из факторов выпуск продукта не равен нулю:

,

Следовательно, изокванты линеной ПФ могут пересекать оси координат.

Соответственно линейной зависимости не будет выполняться и свойство вогнутости ПФ, так как вторая частная производная линейной ПФ по любому фактору будет равна нулю. Значит, линейная ПФ обладает свойством постоянства предельного продукта, так как увеличение одного фактора при фиксации затрат другого фактора не уменьшает величину предельного продукта.

Получим основные характеристики линейной ПФ:

1. Средний продукт труда и капитала:

С ростом фондовооруженности средний продукт труда увеличивается, а средний продукт капитала уменьшается.

2. Предельные продукты труда и капитала:

и

3. Изокванты линейной ПФ задаются уравнением и представляют семейство прямых с угловым коэффициентом .

4. Предельная норма замещения труда капиталом:

5. Коэффициент эластичности замещения труда капиталом линейной ПФ всегда равен бесконечности, так как MRS = const.

 

Линейные ПФ используются при моделировании крупномасштабных производственных систем, таких как отрасли промышленности или национальные экономики (выпуск агрегированного продукта).