СЛУЧАЙ 1. Выборки независимы.

Весьма распространенным непараметрическим критерием является U-критерий Манна-Уитни. Рассмотрим расчет этого критерия на примере второго проблемного случая.

Сформулируем гипотезы:

Н(0): Возрастной состав лиц, получающих лечение гемодиализом, не зависит от уровня экономического развития страны

Н(1): Возрастной состав лиц, получающих лечение гемодиализом, не одинаков в странах с различным экономическим уровнем (ненаправленная гипотеза)

Выберем уровень значимости α=0,01

Вычислим значение U-критерия по следующему алгоритму

• Объединим все значения обеих выборок в один ранжированный ряд

 

Таблица 32. Порядок расстановки рангов

 

№

1гр

Р

ПД

Ю

Ю

В

В

ПЖ

2гр

Р

Р

Р

Ю

В

В

ПЖ

ПЖ

ранг

2,5

2,5

2,5

2,5

10,5

10,5

10,5

10,5

 

• Каждому элементу этого ряда присвоим ранг, при этом, если несколько элементов ряда совпадают по величине, то каждому присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров

• Для каждой выборки находятся суммы рангов

R₁ = 2,5+5+7+7+10,5+10,5+14=56,5

R₂ =2,5+2,5+2,5+7+10,5+10,5+14+14=63,5

• Рассчитываются статистики:

(26)

где i =1,2 номера выборок

U₁ = 56,5 - 7 * 8/2 =28,5

U₂ = 63,5 -8*9/2 = 27,5

Для проверки правильности расчетов можно использовать следующее соотношение

(27)

(28)

В качестве критерия выбираем наименьшую из двух сумм U_выч = 27,5 и сравниваем ее с табличным значением для n_l =7, n₂ = 8 и уровня значимости α=0,01 U_крит = 6 (Приложение 3, двусторонний тест).

• Если U_выч > U_крит то принимается Н(0)

• Если U_выч ≤ U_крит то принимается Н(1)

В нашей задаче вычисленное значение критерия больше табличного, поэтому принимается нулевая гипотеза, и различия в возрастном составе между группами считаются статистически незначимыми (нет аргументов отвергнуть нулевую гипотезу).

Но окончательно принять нулевую гипотезу мы пока еще не можем, возможно, мы обнаружим различия, если увеличим объем выборки и применим параметрический критерий. Но этот вопрос относится уже к проблемам планирования эксперимента.

 

СЛУЧАЙ 2. Выборки зависимы.

Проблема. Необходимо определить влияет ли новый препарат на содержание холестерина в плазме крови. С этой целью препарат был испытан на десяти кроликах. В результате получены следующие данные   Таблица 33. Экспериментальные данные по холестерину     Концентрация холестерина «До», ммоль/л 6,3   6,8 5,6 4,8 7,2 6,2   8,1 7,9 «После», ммоль/л 4,8 4,6 3,3 5,6 6,3 5,1 4,7 6,3 5,5 6,2

 

Исследуемый признак количественный, закон распределения для которого неизвестен и его нельзя оценить вследствие малой выборки, а выборки являются зависимыми (попарно связанными). В таком случае можно использовать непараметрический Т -критерий Уилкоксона.

Выдвигаем гипотезы:

Н(0): В генеральной совокупности содержание холестерина в плазме крови после приема препарата не изменяется, или «препарат не влияет на содержание холестерина в плазме крови», или «две выборки извлечены из одной генеральной совокупности»

Н(1): В генеральной совокупности содержание холестерина в плазме крови после приема препарата изменяется (ненаправленная гипотеза)-

Выберем уровень значимости α = 0,05

Т -критерий Уилкоксона вычисляется по следующему алгоритму

· Вычисляются попарные разницы значений «до» и «после» (таблица 34)

 

Таблица 34. Алгоритм расчета критерия

 

	Концентрация холестерина
«До», ммоль/л	6,3		6,8	5,6	4,8	7,2	6,2		8,1	7,9
«После», ммоль/л	4,8	4,6	3,3	5,6	6,3	5,1	4,7	6,3	5,5	6,2
Разница, ммоль/л	1,5	2,4	3,5		-1,5	2,1	1,5	-1,3	2,6	1,7
Ранжир. ряд		-1,3	-1,4	1,5	-1,5	1,5	1,7	2,4	2,6	3,5
Ранги
Т+
Т-

 

· Попарные разницы, кроме нулевых, без учета знака ранжируются в один ряд

· Разницам, кроме нулевых, присваиваются ранги, при чем одинаковым по модулю величинам присваивают одинаковый ранг

· Отдельно вычисляют сумму рангов положительных (Т+) и отрицательных разностей (Т-),

Т+ = 3+3+4+5+6+7=28

Т- = 1+2+3=6

· Меньшую из двух таких сумм без учета знака выбирают в качестве критерия:

Т_выч = 6

Табличное значение для уровня значимости α = 0,05 и числа пар наблюдений п =10 (двусторонний критерий, Приложение 4):

Т_крит = 9

 

· Если Т_выч > Т_крит то Н(0)

· Если Т_выч ≤ Т_крит то Н(1)

В нашем случае вычисленное значение критерия меньше табличного и принимается альтернативная гипотеза.

Вывод: Содержание холестерина в плазме крови после приема препарата изменяется с вероятностью не менее 95%.

 

Контрольное задание 8:

Исследовалось влияние нервно-эмоциональной нагрузки (тест «реакция на движущийся объект») на частоту пульса у 15 испытуемых. Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы. Какой критерий можно использовать для проверки этих гипотез, если статистическое распределение ЧП неизвестно. Сделайте выводы по данной задаче, если вычисленное значение критерия равно 2, а α=0,01. Обоснуйте каждый свой ответ.