Применение логики предикатов к логико-математической практике

 

Задание 1

Варианты 1-10: Проанализируйте рассуждение согласно варианту на предмет его правильности. Для этого выявите логические схемы, на которых оно основаны, и выясните, справедливы ли они.

 

№ вар.	Рассуждения
1	Все рациональные числа – действительные. Все целые числа – рациональные. Следовательно, все целые числа – действительные.
2	Ни одно действительное число не является мнимым числом. Все целые числа – действительные. Следовательно, ни одно целое число не есть мнимое.
3	Все целые числа – рациональные. Некоторые вещественные числа – целые. Следовательно, некоторые вещественные числа – рациональные.
4	Все ромбы – параллелограммы. Все прямоугольники – параллелограммы. Следовательно, все ромбы – прямоугольники.
5	Все ромбы – параллелограммы. Все прямоугольники – параллелограммы. Следовательно, все прямоугольники – ромбы.
6	Некоторые четные функции периодические. Ни одна монотонная функция не является четной. Следовательно, ни одна периодическая функция не монотонна.
7	Некоторые четные функции периодические. Ни одна монотонная функция не является четной. Следовательно, ни одна монотонная функция не является периодической.
8	Все квадраты – правильные многоугольники. Ни одна трапеция не есть правильный многоугольник. Следовательно, ни одна трапеция не есть квадрат.
9	Некоторые математики суть логики. Все логики знакомы с произведениями Аристотеля. Следовательно, некоторые математики знакомы с произведениями Аристотеля.
10	Все студенты ДонНУ – жители Донецкой области. Некоторые жители Донецкой области – пенсионеры. Следовательно, некоторые студенты ДонНУ – пенсионеры
11	Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен.
12	Некоторые люди взошли на Эверест. Эдмунд Хиллари – человек. Следовательно, Эдмунд Хиллари взошел на Эверест.
13	Во всех городах за Полярным кругом бывают белые ночи. Петербург не находится за Полярным кругом. Следовательно, в Петербурге не бывает белых ночей.
14	Все сильные шахматисты знают теорию шахматной игры. Иванов не является сильным шахматистом. Следовательно, Иванов не знает теорию шахматной игры.
15	Некоторые змеи ядовиты. Ужи – змеи. Следовательно, ужи – ядовиты.

 

Пример выполнения задания 1

Пример. Проанализируйте следующее рассуждение на предмет их правильности. Для этого выявите логические схемы, на которых они основаны, и выясните, справедливы ли они: Все хирурги – врачи. Некоторые врачи – Герои России. Следовательно, некоторые хирурги – Герои России.

Решение: Введем обозначения для предикатов: U (x): «х – хирург», Е (х): «х – врач», H (х): «х – Герой России». Тогда посылки данного рассуждения на языке логики предикатов запишутся в следующем виде:

(" x) (U (x) → E (x)) и ($ x) (E (x) Ù H (x)).

Заключение запишется в виде ($ x) (U (x) Ù H (x)).

Таким образом, структура данного умозаключения имеет следующий логический вид:

(" x) (U (x) → E (x)), ($ x) (E (x) Ù H (x)) ‘ ($ x) (U (x) Ù H (x)).

Выясним, верно ли данное логическое следование. Рассуждаем методом от противного. Допустим, что оно неверно, т. е. для некоторых конкретных предикатов A (x), B (x), C (x), заданных над множеством М, имеет место:

λ[(" x) (A (x) → B (x))] = 1, λ[($ x) (B (x) Ù C (x))] = 1, но λ[($ x) (A (x) Ù C (x))] = 0.

Из первого и третьего соотношений тогда следует, что для любого a Î M:

λ[ A (a) → B (a)] = 1 и λ[ A (a) Ù C (a)] = 0.

Из второго следует, что для некоторого b Î M:

λ[ B (b) Ù C (b)]=1.

Итак, если предикаты А (х), В (х), С (х), заданные над множеством М, таковы, что

A ⁺ Ì B ^⁺, B ⁺ ∩ C ⁺ ¹ Æ, а A ⁺ ∩ C ⁺ = Æ,

то все полученные соотношения будут удовлетворены. Например, А (х): «х – рациональное число», В (х): «х – действительное число», С (х): «х – иррациональное число». Это и означает, что рассматриваемое следование неверно.

 

Задание 2

Варианты 1-9: Выделите логическую систему случаев для решения неравенств и уравнений типов согласно варианту.

Варианты 10-15: Запишите решение следующих неравенств и уравнений в виде последовательности равносильных предикатов.

 

№ вар.	Неравенства/уравнения
1	f(x)/g(x)≥0
2	f(x)/g(x)≤0
3
4
5	|f(x)|<g(x)
6	|f(x)|>g(x)
7	f(|x|)>g(x)
8	|f(x)|=g(x)
9	h(|f(x)|)=g(x)
10
11
12
13	log2x (x^2 - 5x+6)<1
14	||2x^2-x|-3|<2x^2+x+5
15	|x-|4-x||=2x+4

 

Примеры выполнения задания 2

Пример 1. Выделите логическую систему случаев для решения неравенства следующего типа: log_a f (x)> log_a g (x)

Решение:

Пример 2. Запишите решение следующего неравенства в виде последовательности равносильных предикатов: .

Решение:

Символом ЛОЖЬ обозначен тождественно ложный предикат. Здесь использовано следующее свойство предикатов: дизъюнкция любого предиката Р (х) и тождественно ложного предиката равносильна предикату Р (х).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Логика как наука относится к философии, а как символическая формальная – к математике.

Логика входит в состав фундаментальных математических дисциплин современной информатики, объединяемых в дискретной математике. Логика связана с алгоритмизацией и автоматическим решением задач.

В данном учебном издании рассмотрены базовые положения двух основных разделов математической логики: логики высказываний и логики предикатов. Принципы логического вывода, применяемые в логике предикатов, являются основой широкого класса систем искусственного интеллекта – экспертных систем, а также баз знаний.

Логика высказываний – основополагающий раздел современной логики, имеющий широкое применение в различных сферах интеллектуальной деятельности человека. В логике высказываний рассуждения из вербальной (текстуальной) формы преобразуются в символическую форму и определяются основные законы правильных рассуждений. Законы позволяют абстрагироваться от смысла конкретных высказываний, выполнить анализ и алгебраические преобразования высказываний в символической форме.

Вместе с тем, поскольку в логике высказываний не учитывается субъективно-предикатная структура высказываний и ряд других содержательных положений, с ее помощью нельзя адекватно формализовать значительную часть содержательных рассуждений, используемых человеком. Для этих целей дополнительно к средствам логики высказываний используются средства логики предикатов.

В логике предикатов рассматриваются законы построения утверждений в обобщенной форме с переменными, определяемыми в классах с конкретным информационным смыслом. Язык логики предикатов, в который вкладывается смысл, играет важную роль в искусственном (автоматизированном) получении знаний.

Важнейшим достижением логики в приложениях конца ХХ века является разработка основ логического программирования.

Современные приложения логики – проектирование цифровых схем, программирование экспертных систем, управление базами данных, логическое управление.

Практические навыки, полученные студентами при выполнении заданий практикума, будут использоваться при изучении дисциплины бакалавриата «Современные информационные системы и технологии», а также при освоении дисциплин магистратуры «Технологии извлечения знаний» и «Интеллектуальные системы».

 

Литература

 

1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие для студ. высших учеб. заведений / В.И. Игошин. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 448 с.

2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов / В. И. Игошин. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 304 с.

3. Зыков А.Г. Математическая логика / А.Г.Зыков, В.И.Поляков, Скорубский В.И. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. – 131 с.

4. Судоплатов С.В. Математическая логика и теория алгоритмов: учебник / С.В.Судоплатов, Е.В.Овчинникова. – Новосибирск, Изд.НГТУ. – 2012. – 256 с.

5. Герасимов А.С. Курс математической логики и теории вычислимости: Учебное пособие / А.С.Герасимов. – 3-е изд., испр. и доп. — СПб.: Издательство «ЛЕМА», 2011. – 284 с.

 

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

 

Рекомендовано Ученым советом

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет»

(протокол № 9 от 30 ноября 2018 г.)

 

Ермоленко Татьяна Владимировна

 

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ