Раздел 6:  Основы тригонометрии

Самостоятельная работа №14  «Тригонометрические формулы»

Цель: способствовать закреплению навыков преобразования тригонометрических выражений.

Основные формулы тригонометрии

; ; ;

  ;      ;     t     ;      .

Синус и косинус суммы и разности аргументов:

       

        

Формулы двойного аргумента:                       Формулы понижения степени:

                                                  

                                   

                             

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:

         

       

Задание 1. Заполнить таблицу «Тригонометрия. Теория и практика».

При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:

 

	Понятия	Теоретические сведения, формулы	Пример, решение
1	Основное тригонометрическое тождество
2	Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.
3	Знаки тригонометрических функций
4	Формулы двойного угла
5	Формулы сложения
6	Формулы преобразования суммы и разности в произведение.
7	Формулы приведения.

Форма выполнения задания: оформленная таблица.

Задание 2.

Вариант 1	Вариант 2
1.Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:	1.Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
2.Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов: 2.2	2.Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
3.Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:	3.Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
4.Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:	4.Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента: 4.2
5.Представить в виде произведения:	5. Представить в виде произведения:

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Самостоятельная работа № 15 «Тригонометрические уравнени я»

Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.

Теоретический материал

Формулы для повторения

arcsin(  a) =  arcsin a

arccos ( a) =

arctg ( a) =  arctg a

arcctg ( a) =  arcctg a

Общие формулы решения тригонометрических уравнений

;
II tg x = a, a – любое число T x = arctg x +	I  ctg x = a, a – любое число      х= arcctgx +

 

 

Частные решения тригонометрических уравнений

sin x=0  х=	sin x=1       x=	sin x=-1                                                x=
cos x=0 x=	cos x=1 x=	cos x=-1 x=

 

Значение тригонометрических функций

град	0^0	30^0	45^0	60^0	90^0
радиан	0
sin	0				1
cos	1				0
tg	0		1		не существ
ctg	Не существ		1		0

 

Формулы для повторения:

, .

Если , то корни квадратного уравнения находим по формуле:

 

Образцы решения тригонометрических уравнений второго порядка:

Образец№1

Решить уравнение:

Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z² – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z₁ = 2 и z₂ = .

Значит, либо sin x = 2, либо sin x = . Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим

Образец №2

Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся тем, что  

Тогда заданное уравнение можно записать в виде:

После преобразования получим:

Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:

2z² –z -1 = 0. Решая его, находим z₁ = 1, z₂ =

Значит, либо cos x = 1, либо cos x =

Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение

 .

Решая второе уравнение, находим решение:

 x arccos

) +

 + 2

Образец №3

Решить уравнение:

Решение:

С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что  - это тождество верно для любого значения х.

Тогда .

Заменив в первом уравнении 2 на  , получим:

 sinx cosx + 5

 sinx cosx + 5

Обе части уравнения разделим на cos² x почленно

Так как , то полученное уравнение запишем в виде:

tg²x -

Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:

 +3=0, решая уравнение, получим: t =

Итак, tg x=

x= arctg

x= , .

 

Задание: решить тригонометрические уравнения.

 

Вариант 1 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Вариант 2 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Вариант 1	Вариант 2
Решить уравнения: 1. 3sin^2x – 5sinx – 2 = 0 2. 3cos^2x + 10cosx + 3 = 0 3. 2sin^2x + 3cosx = 0 4. 3tg^2x + 2tgx – 1 = 0 5.	Решить уравнения: 1. 6cos^2x + cosx – 1 = 0 2.   2sin^2x – 3sinx + 1 = 0  3.  5cos^2x + 6sinx – 6 = 0 4. 2tg^2x + 3tgx – 2 = 0 5.

Вариант 1 1. Решить уравнения: 1.1. 2  –  = 0 1.2. tg2x + 1= 0 1.3. sin  = 1 2. 2. Определить число корней уравнения 3ctg 2x  = 0 принадлежащих отрезку .	Вариант 2 1. Решить уравнения: 1.1.  tgx – 1 = 0 1.2. 2sin  = 1 1.3. 2cos (2x + ) = 2. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin  = .
Решить уравнения: 3.3sin^2x – 5sinx – 2 = 0 4.3cos^22x + 10cos2x + 3 = 0 5.3cos^2x + 10cosx + 3 = 0 6. 2sin^2x + 3cosx = 0 7. 3tg^2x + 2tgx – 1 = 0 8. 9.	Решить уравнения: 3.6cos^2x + cosx – 1 = 0 4.2sin^22x – 3sin2x + 1 = 0  5.2sin^2x – 3sinx + 1 = 0  6. 5cos^2x + 6sinx – 6 = 0 7.2tg^2x + 3tgx – 2 = 0 8. 9.

Форма выполнения задания: решение уравнений.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.