Раздел 10: интеграл и его при менение

Самостоятельная работа № 24 «Первообразная. Интеграл»

  Цель самостоятельной работы: Закрепить знания, умения и навыки интегрирования функций

Задания для самостоятельной работы

Задание 1:составить тест «Первообразная»

Тест должен содержать не менее 6-7 заданий и по 3-4 ответа к каждому заданию (верный только один).Включить задания двух видов:

1. Вычисление первообразных различных функций.
2. Вычисление первообразной, график которой проходит через точку с заданными координатами.

Форма выполнения задания: тест.

Задание 2: Вычислить интегралы

Уровень	1 - Вариант	2 - Вариант
1 - 2	1. Что такое интеграл? 2. Верно ли, что	1. Напишите формулу Ньютона – Лейбница. 2. Верно ли, что
3	Вычислите интегралы	Вычислите интегралы
4	Вычислите интегралы	Вычислите интегралы

Рекомендации преподавателя:

Таблица неопределенных интегралов

 

g w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>C</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
		s w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>C</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

 

Свойства неопределенного интеграла:

;

;

;

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ]. Разобьем отрезок [ a, b ] на n отрезков точками

x 0 = a < x 1 < … < xk − 1 < xk < … < xn − 1 < xn = b

и введем обозначения

Δ xk = xk − xk − 1 (k = 1, …, n); λ =   max 1 ≤ k ≤ n Δ xk.

На каждом отрезке [ x _{k − 1}, x _k ] выберем произвольным образом точку ξ_k (k = 1, …, n) и составим сумму

n ∑ k = 1 f (ξk) · Δ xk,

(5)

называемую (римановой) интегральной суммой функции f (x) на отрезке [ a, b ].

Если существует конечный предел интегральных сумм (5) при λ → 0, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части, ни от выбора точек ξ_k, то функция f (x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [ a, b ], а указанный предел называется (римановым) определенным интегралом от f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается символом

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива

формула Ньютона-Лейбница: .

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Самостоятельная работа № 25  «Вычисление площадей плоских фигур»

Цель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;

Теоретический материал

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C. Записывают: , где - есть некоторая первообразная функции  на этом промежутке, С – const. При этом знак называется знаком интеграла,  - подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением,  - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.

          .

Образец решения:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х² и у=0

Решение:

1. у = 4 - х ² - квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х:    ;

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

Задание1: выполнить графическую работу «Вычисление площадей фигур с помощью

           интеграла»

Вариант 1 По готовому чертежу найти площадь заштрихованной фигуры. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .	Вариант 2 1.По готовому чертежу найти площадь заштрихованной фигуры. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .
Вариант 3 1.По готовому чертежу найти площадь   заштрихованной фигуры.   2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями	Вариант 4 1.По готовому чертежу найти площадь   заштрихованной фигуры. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
Вариант 5 1. По готовому чертежу найти площадь   заштрихованной фигуры. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями	Вариант 6 1. По готовому чертежу найти площадь   заштрихованной фигуры. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Форма выполнения задания: выполнение графической работы.

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вариант 1 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

Вариант 2 1. . 2. 3. . 4. . 5. .

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.