Раздел 9:  начала математического анализа

Самостоятельная работа № 21 «Применение производной к исследованию функции»

Цель:  Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении графика.

Признак возрастания функции: Если  в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция  возрастает.

Признак убывания функции: Если  в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция убывает.

Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке х₀, а   на интервале   и   на интервале , то x₀ является точкой максимума.

Упрощённая формулировка: Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если функция    непрерывна в точке х₀, а   на интервале   и   на интервале , то x₀ является точкой минимума

Упрощённая формулировка: Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка максимума.

Схема исследования функции.

· Находим область определения;

· Вычисляем производную;

· Находим стационарные точки

· Определяем промежутки возрастания и убывания;

· Находим точки максимума и минимума;

· Вычисляем экстремум функции; 

· Данные заносят в таблицу.

· На основании такого исследования строится график функции.

Решить самостоятельно:

Вариант 1

I. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

1.

2.

II. Исследовать функцию и построить график

Вариант 2

I. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

1.

2.

II. Исследовать функцию и построить график

Вариант 3

I. Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания

1.

2.

II. Исследовать функцию и построить график

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Самостоятельная работа № 22   «Применение производной к исследованию функции. Творческое задание»

1.Индивидуальное творческое задание: с оставить кроссворд «Производная».

Форма выполнения задания: кроссворд.

2.Индивидуальное творческое задание:  «Исследование функций с помощью производной»

Цель работы: научить студентов применять производную при исследовании функций.

 

Теоретический материал

Общая схема исследования функций с помощью производной.

1. Нахождение области определения функции.

2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной, периодической или эта функция – функция общего вида.

3. Определение точек пересечения с осями координат.

4. Нахождение критических точек

(точек, в которых производная равна нулю или не существует).

5. Определение промежутков знакопостоянства функции.

6. Определение промежутков возрастания и убывания функции

(промежутков, на которых производная положительна или отрицательна).

7. Определение экстремумов функции.

8. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек перегиба (исследование проводится по второй производной функции).

9. Нахождение асимптот функции.

10. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем недостаточна).

Данную схему можно варьировать в зависимости от конкретных особенностей функции, переставлять отдельные этапы, некоторые из них опускать, какие-то, наоборот, добавлять.

Индивидуальные задания для студентов

1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 3x – x3	2.  Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 12x
3. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 12x	4. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 5x - x3
5. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 3x – 1	6. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 2 + x3
7. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 + 4x - x3	8. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – x + 3
9. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 4x3 – 6x2	10. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 3x2 – x3
11. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) =3x2 – 2x3	12. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 + 3x2
13. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 4x3 - 6x2	14. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = -x3 -3x2
15. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 2x3 + 3x2 – 2	16. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 + 3x2 – 2x3
17. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 1 – 3x2 – x3	18. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 - 3x2 + 3
19. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 2x2 + 1	20. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 2 + x2 - x3
21. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 4 + 3x – x2 - x3	22. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 + x2 -2x -
23. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 3	24. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 8
25. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 8x2 - x4 - 7	26. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x4 - -2x2 – 5
27. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x4 -2x2 – 6	28. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = -x4 + 2x2 + 3
29. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 3x	30. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3  + 3x2

Форма выполнения задания: график функции.

3.Практическое задание:   выполнить тест по теме «Производная» и решить задачи

Вариант 1 1.Производная функции  равна: а) ; б) ; в) ; г) . 2.Производная функции  в точке  равна: а) –1,5; б) 1,5; в) –0,75; г) 0,75. 3.Какая из приведенных функций является производной функции ? а) ; б) ; в) ;   г) . 4. Точка движется прямолинейно по закону . Какой формулой задается скорость движения этой точки в момент времени t. 5. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции   в точке с положительной абсциссой , равен 2. Найдите .

Вариант 2 1.Производная функции  равна: а) ; б) ; в) ; г) . 2. Производная функции  в точке  равна: а) 1,2; б) 2; в) –1,2; г) 2,5. 3. Какая из приведенных функций является производной функции ? а) ; б) ; в) ;    г) . 4. Тело движется по прямой так, что его скорость v (м/с) изменяется по закону . Какую скорость приобретает тело в момент, когда его ускорение равно 12м/с2. 5.Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе   в точке с абсциссой .

 

Самостоятельная работа № 23 «Геометрические и физические приложения производной»

Цель самостоятельной работы: Иметь понятие о геометрическом и физическом смысле производной. Уметь решать прикладные задачи.

Задания для самостоятельной работы

1. Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой .

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2. Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

2.1.

2.2. .

3.  Точка движется прямолинейно по закону .

Найдите скорость и ускорение в момент времени

4.   Точка движется прямолинейно по закону .

В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

5.   Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону .

Найдите кинетическую энергию тела  через 4с.

6.   Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону  

(I – в амперах (А), t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце 8-ой секунды.

7.   Закон прямолинейного движения точки .

Найдите максимальную скорость движения этой точки.

.Рекомендации преподавателя:

1.

2.Закон движения тела задан формулой (м), где t- время в секундах. Найти скорость в конце 4 секунды.

1) Найдем дифференциал функции;

2)Подставим вместо t значение времени

U(t)=S’(t)

U(t)=S’(t)=5-t

U(4)=5-4=1

Ответ:1м/с

 

 

Практическое заадание: решить задачи по теме «Физический смысл производной».

Примеры применения производной