Образцы решения логарифмических уравнений

1.Решить уравнение:

Решение: Используя формулу: , заменим сумму логарифмов произведением:

=0

.

Проверка:

 - не существует.

Ответ: х

Решить уравнение:

. Используем метод замены.

     

. Подставим в замену.

.

Ответ: .

 

 

Образцы решения показательных неравенств

1.Решить неравенство

Решение:

Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. .

Получим:

Так как основание , то неравенство равносильно неравенству того же смысла

Ответ: .

2.Решить неравенство

Решение.

Заменим:

Получим неравенство:  Трехчлен  разложим на множители: .

.

Ответ: .

№п/п	Вариант 1	Вариант 2
1
2
3
Показательные и логарифмические неравенства
1
2
3

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Раздел 3: Прямые и плоскости в пространстве

Самостоятельная работа № 7 «Прямые и плоскости в пространстве».

Заполнить таблицу «Прямые и плоскости в пространстве».

При заполнении можно воспользоваться лекциями или учебниками:

1.  Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2015,

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2009.

	Закончить предложения или ответить на вопросы:		чертежи
1	Аксиомы стереометрии:	1) 2) 3)
2	Существует 3 случая расположения прямых в пространстве:	___,
3	Две прямые в пространстве параллельны, если…
4	Две прямые пересекаются, если…
5	Две прямые скрещиваются, если…
6	Признак скрещивающихся прямых:
7	Существует 3 случая расположения прямой и плоскости:
8	Прямая и плоскость пересекаются,, если..
9	Прямая и плоскость параллельны, если…
10	Прямая лежит в плоскости, если…
11	Признак параллельности прямой и плоскости:
12	Существует 2 случая расположения двух плоскостей:
13	Плоскости пересекаются, если…
14	Плоскости параллельны, если…
15	Признак параллельности двух плоскостей:
16	Свойства параллельных плоскостей:	1) 2)
17	Две прямые в пространстве перпендикулярны, если…
18	Прямая и плоскость перпендикулярны, если…
19	Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
20	Признак перпендикулярности двух плоскостей:
21	Две плоскости перпендикулярны, если…
22	Сформулируйте понятия: 1) Перпендикуляр – это… 2) Наклонная – это… 3) Проекция – это…
23	Теорема о трех перпендикулярах:
24	Угол между прямой и плоскостью это…
25	Двугранный угол – это…

Форма выполнения задания: оформленная таблица.

Самостоятельная работа № 8«Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

Цель: рассмотреть понятие- расстояния от точки до плоскости; изучить теорему о трёх перпендикулярах; рассмотреть типичные ситуации её применения на примерах решения задач.

Теоретический материал

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

Вопросы для закрепления.

1. Как найти расстояние от точки до плоскости?

2. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?

3. Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?

4. Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?

5. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах

6. Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?

7. Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?

8. Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?

9. Что называется углом между прямой и плоскостью?

 

Задание 1. Решить задачи

Вариант 1

1. Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.

3. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4  см.

1) Докажите равенство углов, образованных прямыми SA, SB, SD с плоскостью квадрата.

2) Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.

Вариант 2

1.  Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

3. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4см. Точки K, L, M, N – середины сторон квадрата.

1) Докажите равенство углов, образованных прямыми SK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.

2) Найдите эти углы, если площадь АВСD равен 64 см².

 

Задание 2: решить задачу по теме «Перпендикуляр и наклонная».

1 вариант – на выбор 1,3 или 5 задача. 2 вариант – на выбор  2,4 или 5 задача.

1) Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.

2) Длина наклонной 10см, перпендикуляра, проведённого из той же точки что и наклонная к той же прямой, равна 6см. Найдите длину проекции наклонной.

3) Из точки А к данной плоскости a проведены перпендикуляр АА₁ и две наклонные

АВ и АС. СА₁= 4, Ð АВА₁ = 30°, Ð АСА₁ = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

4) Из точки А к данной плоскости a проведены перпендикуляр АА₁ и две наклонные АВ и АС, каждая из которых наклонена к плоскости под углом 45°, угол между наклонными 120°. Расстояние между основаниями наклонных 12см. Найти расстояние от точки А до плоскости a.

5) Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. 

 

Форма выполнения задания: решение задач.

Контроль: работу сдать преподавателю в тетрадках для самостоятельных работ в установленный срок.

Самостоятельная работа № 9   «Составление кроссвордов на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

Цель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.

Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.