Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

 

 

Рассмотрим круглый цилиндр, радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса r (рис. 10). Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему стержня.

 

 

Рис. 10 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников тепла

 

Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной.

Уравнение имеет вид:

.                                 (1)

 

Граничные условия:

при r = 0 ;

при r = r ₀ .

Необходимо найти: уравнение температурного поля и тепловой поток.

Проведем замену переменных , тогда уравнение (1) примет               вид:

                                                                          (2)

Умножим выражение (2) на rdr и получим:

.                                    (3)

Первые два слагаемых выражения (3) являются:

.

Тогда выражение (3) можно представить в виде:

.

 

 

После интегрирования получим:

.                                              (4)

Разделим выражение на r, получим:

.

Вернувшись к замене, получим:

.                                        (5)

После второго интегрирования получим:

.                                    (6)

Определим с₁ и с₂ из граничных условий.

При r = 0 находим из (5), что с₁ = 0.

При r = r ₀ находим из (5), что  и подставляем в граничные условия:

.

Откуда:

.

Из (6) находим с₂:

;

.

Уравнение температурного поля:

.

Распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра:

.

Полный тепловой поток:

.

 

Лекция № 4

Нестационарные процессы теплопроводности

Общие положения

Это такие процессы теплопроводности, когда поле температуры в теле изменяется не только в пространстве, но и во времени (рис. 11). Они имеют место при нагревании или охлаждении различных энергетических устройств.

Среди практических задач нестационарной теплопроводности большое значение имеют 2 группы процессов: 1) тело стремиться к тепловому равновесию; 2) температура тела претерпевает периодические изменения.

 

Рис. 11 Характер изменения температуры тела во времени

В первом случае по мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближается к установившейся температуре.

Нестационарные тепловые процессы связаны с изменением внутренней энергии вещества. К примеру, в условиях передачи теплоты через стенку при внезапном изменении температуры одного из теплоносителей не вся теплота будет передаваться через стенку: часть уйдет на изменение внутренней энергии самой стенки (её температуры). Только при наступлении стационарного процесса вся теплота будет передаваться через стенку от одной жидкости к другой.

В настоящем разделе рассмотрим наиболее важные задачи, относящиеся к процессам, в которых тело стремиться к тепловому равновесию.