В результате получили общее решение

.                          (5)

Для того чтобы уравнение (5) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным и граничным условиям.

При х = 0 , находим  

Þ  Þ с₂ = 0

Следовательно, частное решение  – должно быть отброшено как не удовлетворяющее граничным условиям.

Если учесть, что с₂ = 0 и обозначить с₁с₃ = А, то уравнение (5) примет вид:

.

При х = d Þ ½ умножив и разделив на d, получим:

,

  - число Био – безразмерный показатель (характеризует соотношения внутреннего и внешнего тепловых сопротивлений).

Если обозначить k d = m, то:

                    (1)

 

 

 

Рис. 13 К решению уравнения (1).

 

Из анализа этого уравнения  следует, что при каждом значении В i существует бесконечное множество решений. Наиболее просто это равнение решается графическим способом.

  Обозначим через y ₁ = с tg m,   ^.

Пересечение котангенсоиды у₁ с прямой у₂ дает бесконечное множество корней характеристического уравнения m ₁ < m ₂ < m ₃ <…< m _n (рис. 13).                  

Каждому значению Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (1). Первые четыре корня такого уравнения приводятся в  таблице.

При В i ® ¥ (внутреннее сопротивление велико по сравнению с внешним) у₂ = 0 – совпадает с осью х и корни будут равны:

m ₁ = p /2; m ₂ = 3 p /2; m _n = (2 n -1) p /2

При В i ® 0 (внутреннее сопротивление мало по сравнению с внешним) прямая   совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона стремиться к ¥ ® корни равны:  

m ₁ = 0; m ₂ = p,…, m _n = (n -1) p.

Следовательно, каждому найденному значению корня m будет соответствовать свое частное распределение температур:          

, здесь мы учли, что k = μ/δ.

Путем наложения бесконечного числа таких распределений температур можно получить истинное распределение:                     

.                                 (а)

Постоянная А_n находится из начальных условий:  

                                .

Это есть разложение четной функции в ряд Фурье. Есть специальные формулы для определения коэффициентов А_n. _.

Если в начальный момент времени t = 0 температура в любой точке пластины распределена равномерно (Т₀ – Т_ж = θ ₀ = const), то:

.

Подставляя А _n в выражение (а), получим

.                   (б)

Уравнение температурного поля (б) целесообразно представить в безразмерной форме. Для этого разделим правую и левую части уравнения на θ ₀ (начальная разность температур). При этом обозначим:   D_n = А _n / θ ₀. Получим:

,             (в)

где Q = θ / θ ₀ – безразмерная температура; Х = х/ d - безразмерная координата; Fo = aτ /δ² – число Фурье, представляющее собой безразмерное время;      D_n = А _n / θ ₀ – безразмерный коэффициент.

Получим, что температура каждой точки во времени изменяется по экспоненциальному закону. Распределение температуры по координате х (по толщине) – имеет вид косинусоиды с максимумом в центре пластины.

Анализ полученного решения

Так как m ₁, m ₂, …, m _n – ряд возрастающих чисел, то чем больше m, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n.

Исследования показали, что уже при Fo ³ 0,3 ряд (в) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда

.

Величина D ₁  является только функцией числа Bi (так как m _n = f (В i)) и заранее может быть рассчитана и табулирована.

Если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/ d, то и cos (m ₁ Х) является функцией В i (так как m ₁ = f (В i)).

Для оси пластины: Х = х/ d = 0 ® cos (m ₁ 0) = 1

Для поверхности: Х = х/ d = 1® cos (m ₁ 1) = cos m ₁.

Тогда для оси пластины произведение D ₁ cos (0) обозначим как некоторую функцию N (Bi):                                             

.                                     (1)

Для поверхности пластины D ₁ cos m ₁ – обозначим через Р(Bi):

                    .                                      (2)

Функции N (Bi) и Р(Bi) табулированы и берутся из справочников. Из уравнений (1) и (2) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией 2-х безразмерных параметров Bi и Fo.  

.

Логарифмируя уравнение (1), получаем

       .                                (3)

Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (2).

Из уравнения (3) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Это позволяет представить для уравнений (1) и (2) графическое решение (рис. 14).

 

 

 

Рис. 14 Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

 

Из уравнения (в) для Q следует: поле температуры имеет вид симметричной кривой косинусоиды с максимумом на оси пластины (Х =0).

Физический смысл: в первые моменты времени перепад температур между серединой пластины и краем максимальный. Это объясняется тем, что сначала охлаждаются наружные слои пластины. Затем начинают остывать слои ближе к центру пластины.  

Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. Кривизна этих кривых зависит от условий однозначности.

Для бесконечно длинного цилиндрического стержня вывод соотношений для температуры аналогичен рассмотренному выше для плоской стенки.

 

                        Охлаждение параллелепипеда

 Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой Т_ж. В начальный момент времени (при t = 0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру Т₀. Параллелепипед однородный и изотропный (рис. 15).

Найти: распределение температур и среднюю температуру.

 

 

Рис. 15 К охлаждению параллелепипеда

 

Поместим начало координат в центре параллелепипеда. Дифференциальное уравнение теплопроводности:

.

Начальные условия:

При заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Введя обозначения , запишем граничные условия:

а) для наружной поверхности при t > 0:

-

б) в центре параллелепипеда:

.

Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные при пересечении соответственно: 3-х взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины; цилиндра и пластины и 2-х пластин.

Доказано, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассмотренное тело.

Для параллелепипеда решение можно представить как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин:

                                                                    _,                                           (1)

где ; ; .

То есть, решение задачи для рассматриваемого тела конечных размеров свелась к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (1) можно представить в виде:

,

где ; ; ; ; .

Данный метод известен в теории теплопроводности под названием теоремы о перемножении решений. Средняя температура находится аналогично.

Скорость распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тела к их объему. Чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше.