Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравнения следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости, для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Для многих задач можно предположить, что жидкость несжимаема, то есть справедливо соотношение для термодинамически идеального газа:

di = c_pdT и i = c_pdT  -

                    ^Т

уравнение, которое позволяет установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить q, необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии

Это уравнение описывает температурное поле в движущейся жидкости. При его выводе предполагали, что жидкость однородна и изотропна, её физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии. В итоге получили:

¶ Т/ ¶ t + w _х ¶ Т/ ¶ х + w _у ¶ Т/ ¶ у + w _z ¶ Т/ ¶ z = а (¶ ² Т/ ¶ х² + ¶ ² Т/ ¶ у² + ¶ ² Т/ ¶ z ²) + q_v / r с_р - уравнение энергии

dT/dt - полная производная от температуры по времени (левая часть уравнения);

 - характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, то есть  является локальным изменением температуры Т; второй член – характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, то есть  является конвективным изменением температуры Т.

Уравнение энергии можно переписать в форме

                             dT / d t = а Ñ ² Т + q_v /(r с_р)                                                         (2)

Если w _х = w _у = w _z = 0, то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Уравнения движения

Как следует из уравнения (2), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости w _х, w _у, w _z. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменения скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями  является уравнения движения. Вывод уравнения движения основана на 2-м законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

На элемент жидкости действуют 3 силы: 1) сила тяжести, 2) равнодействующая сил давления и 3) равнодействующая сил трения. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, которые называется уравнениями Навье – Стокса. В векторной форме записи они имеют

                                                                       набла

                      r (d v / d t)   = r g  - Ñ p + m Ñ ² v,

                             масса х           сила     давление    сила

                          ускорение          тяжести                трения

где m - динамический коэффициент вязкости (Н∙с/ м²) – численно равен касательной силе, которая действует в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, если изменение скорости в направлении нормали к этой плоскости dv/dn = 1.

Это уравнение не учитывает зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движения жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости

С учетом зависимости плотности жидкости от температуры уравнения движущейся жидкости примет вид

                     d v / d t = - g b u - (1/ r) Ñ р + n Ñ ² v,

                              подъемная сила

где b = (r ₀ - r)/(r _0∙ u) – коэффициент объемного расширения

(r = r ₀ (1 - b ∙ u))

  u = T – T₀;

   n = m / r - кинематический коэффициент вязкости, м²/с.

Так как в уравнении движения помимо w_х, w_у, w_z, u входит ещё неизвестная величина р (давление), то система уравнений не является замкнутой.

Необходимо добавить ещё одно уравнение – дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности

Величина r w _х представляет собой количество массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сечения. Избыток массы, вытекающей из рассматриваемого объема, может быть обусловлен изменением плотности в объеме dV и равен изменению массы данного объема во времени (¶ r / ¶ t) ∙ dV ∙ d t.

В итоге получено уравнение сплошности для сжимаемых жидкостей:

¶ r / ¶ t + ¶ (r w _х) / ¶ х + ¶ (r w _у)/ ¶ у + ¶ (r w _z)/ ¶ z = 0

Для несжимаемых жидкостей r = const Þ

¶ w _x / ¶ x + ¶ w _y / ¶ y + ¶ w _z / ¶ z = 0 или div v = 0.

Это уравнение  является уравнением сохранения массы.

Таким образом, процесс конвективного теплообмена описывается 4-мя уравнениями:

  1) уравнением энергии;

 2) уравнением движения;

 3) уравнением сплошности;

 4) уравнением q = q _тпр + q _конв.

Для решения этих уравнений необходимо задать условие однозначности.

Особенность состоит в следующем. Задание температуры поверхности стенки затруднительно, так как она зависит от процессов теплообмена в стенке и по другую её сторону. Поэтому необходимо к системе дифференциальное уравнений рассматриваемого конвективного теплообмена присоединить дифференциальное уравнения теплопроводности, описывающие передачу тепла в стенке. Затем задать условия сопряжения.

Математическая формулировка задачи может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя. Сложность процессов конвективного теплообмена заставляет при его изучении особенно широко использовать методы экспериментальных исследований. В этом помогает теория подобия. Широко применяются также численные методы расчета.

 

Лекция 7 Гидродинамический и тепловой пограничные слои

Для инженерной практики особый интерес представляет теплообмен между жидкостью и твердым телом. Рассмотрим особенности течения и переноса теплоты в пристенном слое жидкости.

Условия «прилипания». В настоящее время в гидродинамики вязкой жидкости получила признание гипотеза о том, что частицы жидкости, непосредственно прилегающие к твердому телу, адсорбируются последним, как бы прилипают к его поверхности, то есть их скорость равна скорости тела (а если тело неподвижно, то нулю).

Этот слой «прилипшей» жидкости можно рассматривать как бесконечно тонкий слой. Гипотеза о равенстве нулю скоростей жидкости на стенке хорошо согласуются с экспериментами. Эта гипотеза справедлива до тех пор, пока газ можно считать сплошной средой. По мере увеличения разрежения газ вблизи стенки начинает проскальзывать.

Мы будем рассматривать в основном сплошные среды.

Уравнение теплоотдачи.

Так как у поверхности твердого тела имеет место тонкий слой неподвижной жидкости, то плотность теплового потока на стенке (теплоотдача) может быть определена по уравнению Фурье:

q_c = - l (¶ T /¶ n)_n=0,

где n – нормаль к поверхности тела.

При необходимости по известному полю температур можно определить и коэффициент теплоотдачи

a =  (¶ Т /¶ n)_n=0 – уравнение теплоотдачи