Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. Например, между температурой заготовки, которая находится в поле СВЧ, и мощностью установки. Для сложных физических явлений, в которых определяющие величины могут изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами очень трудно.

В этих случаях на помощь приходит метод математической физики, который исходит  из того, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема dV и выбранного малого отрезка времени d t  пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость.

Выбранный таким образом элементарный объем dV и элементарный промежуток времени d t  с математической точки зрения – величины бесконечно малые, а с физической точки зрения – величины еще достаточно большие, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как сплошную.

Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя дифференциальное уравнение, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего промежутка времени.

Уравнение теплопроводности

Используется метод математической физики (ограничивается расстоянием элементарного объема и малого отрезка времени). Для решения задачи определения температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.

Допущения: тело однородно и изотропно, физические параметры – const, деформация объема (в связи с изменением температуры) мала, внутренние источники теплоты распределены равномерно.

 

 

Рис. 2  К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

 

Выделим в объеме тела параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 2).

В основе вывода лежит закон сохранения энергии.

,

где dQ ₁ – количество теплоты, введенное теплопроводностью; dQ ₂ – количество теплоты за счет внутренних источников энергии; dQ – изменение внутренней энергии (энтальпия).

.

Но  можно разложить в ряд Тейлора (как непрерывную функцию) и если ограничиться двумя первыми членами рядя, то:

.

Тогда

.

В твердых телах по закону Фурье:

.

Частные случаи.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (при l = const)

.

При l = const  – коэффициент температуропроводности (мера теплоинерционности), м²/с.

Уравнение Фурье (без источников тепла q_v = 0):

.

Дифференциальное уравнение Пуассона (поле стационарное, q_v ¹ 0)

.

Уравнение Лапласа (при стационарной теплопроводности, q_v = 0):

.

В цилиндрической системе координат

.

Здесь Ñ - оператор Гамильтона (набла)

.

Оператор Лапласа:

.

.

Лекция № 2 Условия однозначности для процессов

Теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. То есть это уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса – условия однозначности или краевые условия.