Или в общем виде для любого n-угольника

                                                  (3.3.5)

Механический способ

Механический способ определения площади - это измерение на карте или плане площади участка с произвольными границами при помощи специального прибора - планиметра. Полярный планиметр имеет два рычага: полюсный R₁ и обводной R (рис.3.3.2).

Один конец полюсного рычага - точка 0 - является полюсом планиметра, - на нем крепится игла; другой его конец шарнирно соединяется с обводным рычагом в точке b. На одном рычаге обводного рычага имеется счетное колесо K, которое располагается перпендикулярно рычагу, на другом конце рычага находится обводная точка f. Для механического счета числа оборотов счетного колеса имеется счетный механизм. Счетный барабан разделен на сто частей,и сбоку от него имеется верньер на одну десятую деления. Обводное колесо и счетный механизм помещаются на каретке, которую можно перемещать вдоль обводного рычага, изменяя тем самым его длину R = bf.

Рис.3.3.2

Измерение площади сводится к обводу по контуру участка на карте обводной точкой f; при этом вследствие трения о бумагу счетное колесо вращается. Берут отсчет по счетному механизму до обвода контура n₁ и после обвода - n₂. Площадь участка вычисляют по формуле:

P = c * (n₂ - n₁), (3.3.6)

где c - цена деления планиметра.

Внешний вид полярного планиметра изображен на рис.3.3.3; на нем цифрами обозначены: 1 - основная каретка, 3 - полюсный рычаг, 4 - полюс, 6 - стеклянная пластинка с обводной точкой, 7 -обводной рычаг, 8 - шарнирное соединение, 9 - счетчик полных оборотов, 10 - счетное колесо, 11 - верньер.

Рис.3.3.3

Лекция 26

Определение объемов

 

Необходимо спланировать площадку, проектная высота которой 270 м, на участке изображенном на рис.3.4.1 Линией пересечения поверхности земли с заданной горизонтальной плоскостью будет горизонталь с высотой 270 м. Эта горизонталь будет являться границей выемки и насыпи. Объем тела, изображенного горизонталями, можно получить как сумму объемов слоев, заключенных между соседними горизонтальными плоскостями, т.е. между горизонталями. Объем каждого такого слоя приближенно может быть вычислен как объем цилиндра с площадью, равной среднему арифметическому из площадей ограниченных верхней и нижней горизонталями слоя, и высотой h равной высоте сечения рельефа местности, по формуле:

 

 

Если самый верхний слой имеет вид конуса, то его объемы вычисляют по формуле

 

В этих формулах s_n – площадь, которую ограничивает на плане самая верхняя горизонталь; h – превышение самой верхней точки рельефа над верхней горизонталью. Общий объем тела подсчитыватеся как сумму объемов отдельных слоев:

V = V₁ + V₂ + …… + V_n

 

Различные формулы определения геометрических фигур приведены на рис.

 

Лекция 27