Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. Общее количество пунктов в ходе обозначим через n, тогда количество неизвестных будет 2 * (n - 2), так как у двух пунктов (исходных начального и конечного) координаты известны. Для нахождения 2 * (n - 2) неизвестных достаточно выполнить 2 * (n - 2) измерений.

Подсчитаем, сколько измерений выполняется в разомкнутом линейно-угловом ходе: на n пунктах измерено n углов - по одному на каждом пункте, измерены также (n - 1) сторон хода, всего получается (2 * n - 1) измерений (рис.4.6.1).

Разность между количеством выполненных измерений и количеством необходимых измерений равна:

(4.6.1)

то-есть, три измерения являются избыточными: это угол на предпоследнем пункте хода, угол на последнем пункте хода и последняя сторона хода. Но тем не менее, эти измерения выполнены, и их необходимо использовать при вычислении координат пунктов хода.

В геодезических построениях каждое избыточное измерение порождает какое-либо условие, поэтому количество условий равно количеству избыточных измерений; в разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:

(4.6.2)

Сложим эти равенства и получим:

откуда

и (4.6.3)

Это - математическая запись первого геометрического условия в разомкнутом линейно-угловом ходе. Для правых углов поворота оно запишется так:

(4.6.4)

Сумма углов, подсчитанная по формулам (4.6.3) и (4.6.4), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую f_β:

(4.6.5)

Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:

(4.6.6)

Используем известную формулу из теории ошибок для нахождения средней квадратической ошибки функции в виде суммы аргументов:

(4.6.7)

При

получим

или (4.6.8)

После подстановки (4.6.8) в (4.6.6) получаем:

(4.6.9)

Для теодолитных ходов m_β = 30", поэтому:

(4.6.10)

Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол V_β и запишем условие:

откуда следует, что:

(4.6.11)

то-есть, поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.

В уравнении (4.6.11) n неизвестных, и для его решения необходимо наложить на поправки V_β (n-1) дополнительных условий; наиболее простым вариантом таких условий будет:

(4.6.12)

то-есть, все поправки в измеренные углы одинаковы. В этом случае решение уравнения (4.6.11) получается в виде:

(4.6.13)

это означает, что угловая невязка f_β распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы.

Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

(4.6.14)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем правильности обработки угловых измерений.

Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ΔX_i и ΔY_i. Координаты пунктов хода получим по формулам:

(4.6.15)

Сложим эти равенства и получим для приращений ΔX_i:

После приведения подобных имеем:

или

(4.6.16)

Аналогичная формула для суммы приращений ΔY имеет вид:

(4.6.17)

Получились еще два условия (4.6.16) и (4.6.17), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон и упрощенного способа распределения угловой невязки суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам; возникают так называемые координатные невязки хода:

(4.6.18)

по которым вычисляют абсолютную невязку хода:

(4.6.19)

и затем относительную невязку хода:

(4.6.20)

Уравнивание приращений ΔX и ΔY выполняют следующим образом.

Сначала записывают суммы исправленных приращений:

и приравнивают их теоретическим суммам:

откуда следует, что:

(4.6.21)

В этих уравнениях по (n - 1) неизвестных и для их решения необходимо наложить на поправки V_X и V_Y дополнительные условия. На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:

(4.6.22)

которые соответствуют условию "поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон".

Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.

После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной абсолютной невязки хода f_s. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то-есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.