Тема 1. 1. Понятие о фигуре Земли.

ВВЕДЕНИЕ

Тема: Введение. Дисциплина «Топографо-геодезические изыскания. История геодезии и топографии.

 

Геодезия – наука о производстве измерений на местности, определении фигуры и размеров Земли и изображении земной поверхности в виде планов и карт.

Геодезия изучает физическую поверхность Земли, ее форму, пространственное размещение и размеры имеющихся на ней природных объектов (рельеф, растительности, гидрографии и т.п.) и социально экономических, созданных человеком элементов местности (промышленных и сельскохозяйственных объектов, населенных пунктов и т.п.).

Геодезия – слово греческое и в переводе на русский язык означает «землеразделение».

Название предмета показывает, что геодезия как наука возникла из практических потребностей человека. Однако это слово не соответствует современному значению и характеризует историю его возникновения. Современный смысл слова «геодезия» очень широк и к настоящему времени сформировался в результате ее развития как отрасль науки и техники.

Геодезия развивается в тесной связи с другими научными дисциплинами. Огромное влияние на развитие геодезии оказывает математика, физика, астрономия. Математика вооружает геодезию средствами анализа и методами обработки результатов измерений. На основе физики рассчитываются оптические приборы и инструменты для геодезических измерений. Астрономия обеспечивает необходимые в геодезии исходные данные.

Тесную связь геодезия имеет также с географией, геологией и в особенности с геоморфологией. Знание географии обеспечивает правильную трактовку ландшафта, который составляют: рельеф, естественный покров земной поверхности (растительность, почвы, моря, озера, реки и т.д.) и результаты деятельности людей (населенные пункты, дороги, средства связи, предприятия и т.д.). Формы рельефа и закономерности их изменения познаются при помощи геологии и геоморфологии.

Основными научными задачами геодезии являются: определение фигуры и размеров Земли, измерение разностей уровней морей и океанов, а также ряд задач, связанных с исследованием космоса.

Геодезия решает или участвует в решении многих задач прикладного характера, возникающих при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации различных объектов народного хозяйства, в том числе и горно-промышленных объектов (карьеров, рудников, шахт и др.).

При проектировании и строительстве различных инженерных сооружений необходимо предварительно иметь топографические планы и карты, т.е. ту топографическую основу, на которую наносят объекты и по которой производятся геодезическая подготовка исходных данных для выноса запроектированных объектов на местность. Поэтому специалист в области горного дела обязан уметь разбираться в содержании топографического плана или карты, знать основные процессы геодезических полевых и камеральных работ, уметь самостоятельно выполнять наиболее типичные геодезические измерения при помощи основных геодезических приборов: теодолитов, нивелиров, дальномеров и др.

Среди многих задач геодезии можно выделить долговременные задачи и задачи на ближайшие годы.

К первым относятся:

· определение фигуры, размеров и гравитационного поля Земли,

· распространение единой системы координат на территорию отдельного государства, континента и всей земли в целом,

· изображение участков поверхности земли на топографических картах и планах,

· изучение глобальных смещений блоков земной коры.

Ко вторым в настоящее время относятся:

· создание и внедрение ГИС - геоинформационных систем,

· создание государственных и локальных кадастров: земельного, водного, лесного, городского и т.д.,

· топографо-геодезическое обеспечение делимитации (определения) и демаркации (обозначения) государственной границы России,

· разработка и внедрение стандартов в области цифрового картографирования,

· создание цифровых и электронных карт и их банков данных,

· разработка концепции и государственной программы повсеместного перехода на спутниковые методы автономного определения координат,

· создание комплексного национального атласа России и другие.

Эти задачи записаны в Постановлении коллегии Федеральной службы геодезии и картографии России от 20 февраля 1995 года.

В связи с необходимостью решения широкого круга разнообразных проблем научного и практического характера современная геодезия разделена на ряд научных дисциплин.

Топография ("топос" - место, "графо" - пишу; дословно - описание местности)  занимается изучением методов съемки сравнительно небольших участков земной поверхности с целью изображения их на картах и планах.

Картография рассматривает методы изображения на плоскости всей поверхности Земли или значительных ее частей в виде карт различного назначения, разработку новых типов карт, технологию их производства и размножения.

Высшая геодезия разрабатывает методы определения формы и размеров Земли, исследования деформаций земной коры, точного определения координат отдельных точек земной поверхности.

Фототопография изучает методы создания топографических планов и карт с использованием материалов фотосъемки, полученных с Земли, с воздуха и из космического пространства.

Прикладная (инженерная) геодезия занимается разработкой методов специальных геодезических работ, предназначенных для решения многочисленных задач, возникающих при изысканиях, проектировании, строительстве и эксплуатации разнообразных инженерных сооружений.

Космическая геодезия использует наблюдения искусственных спутников Земли, орбитальных пилотируемых станций, межпланетных кораблей для решения различных задач геодезии.

Понятно, что четко обозначенных границ между перечисленными дисциплинами нет. Так, топография включает в себя элементы высшей геодезии и картографии, инженерная геодезия использует разделы практически всех остальных геодезических дисциплин и т.д.

Геодезические измерения выполняются при помощи различных специальных приборов, поэтому в геодезии большое внимание уделяют их теории, устройству, исследованиям и поверкам.

История Геодезии.

Геодезия возникла в глубокой древности. Так дошедшие до нас памятники свидетельствуют о том, что за много веков до нашей эры в Египте и Китае имелось представление о том, как в различных случаях измерять земельные участки, строились оросительные системы; все это выполнялось с участием геодезистов. Приемы измерения земли были известны и в древней Греции, где они получили теоретическое обоснование и положили начало геометрии, что в переводе с греческого означает «землеразделение». Геодезия и геометрия долго взаимно дополняли и развивали одна другую. Геодезия как наука складывалась и развивалась тысячелетиями.

Потребность в измерении Земли возникла и в Руси еще в очень отдаленные времена. В Государственном Эрмитаже (Санкт-Петербурге) хранится камень на котором высечена надпись: «В лето 6576 Глеб князь мерил морем по льду от Тмутороканя до Корчева 11 тысяч сажен». Это означает, что в 1086 г., т.е. в XI веке, было измерено расстояние между городами Таманью и Керчью через Керченский залив по льду. В старейшем русском законодательном памятнике XII века «Русская правда» содержатся постановления о межах, т.е. о границах земельных владений. Позже, в XV веке, описания земель и границ владений сопровождались измерениями, а в XVIII и XIX веках производилось сплошное генеральное межевание земель.

Русская землеизмерительная техника развивалась также под влиянием потребности государства в географической карте. Карта Московского государства «Большой чертеж» Была первой русской картой. Время составления ее точно неизвестно. Изготовленная в одном экземпляре, она несколько раз пополнялась и исправлялась, а в 1627 г. за ветхостью была вычерчена заново. Первая карта Сибири была составлена в 1667 г. при Тобольском воеводе П.И. Годунове. На этой карте была изображена территория от Уральского хребта до Тихого океана. В 1697 г. подробная карта Сибири была составлена сибирским летописцем С.Е. Ремезовым. Карта размером около 2х3 м исполнена на холсте. «Большой чертеж» и карты Сибири являются главнейшими картографическими работами, исполненными в России в допетровскую эпоху.

Первые топографические съемки в России были начаты в 1696 г. на реке Дону, а в 1715 г. – на реке Иртыше. В 1718-1722 гг. геодезисты И.М. Евреинов и Ф.Ф. Лужин выполнили топографические и географические работы на Камчатке и Курильских островах. В 1739 г. был учрежден Географический департамент Академии наук, объединивший картографические работы в стране. В период с 1757 по 1763 г. во главе Географического департамента стоял Михаил Васильевич Ломоносов.

Первоначальной основой для карт служили астрономические пункты¸ положение каждого из которых на земной поверхности определялось широтой и долготой, полученными из астрономических измерений. Позже для той же цели стали применять более совершенную основу, получаемую при помощи геодезических измерений и называемую геодезической опорной сетью.

К концу XVIII века в России было определено 67 астрономических пунктов. Это было большим достижением для того времени. Ни одно государство Западной Европы не имело тогда такого числа астрономических пунктов.

ЛЕКЦИЯ №2

РАЗДЕЛ 1 Общие сведения.

Фигура Земли

Фигура Земли как планеты издавна интересовала ученых; для геодезистов же установление ее фигуры и размеров является одной из основных задач.

На вопрос: "Какую форму имеет Земля?" большинство людей отвечает: "Земля имеет форму шара!". Действительно, если не считать гор и океанических впадин, то Землю в первом приближении можно считать шаром. Она вращается вокруг оси и согласно законам физики должна быть сплюснута у полюсов. Во втором приближении Землю принимают за эллипсоид вращения; в некоторых исследованиях ее считают трехосным эллипсоидом.

На поверхности Земли встречаются равнины, котловины, возвышенности и горы разной высоты; если же принять во внимание рельеф дна озер, морей и океанов, то можно сказать, что форма физической поверхности Земли очень сложная. Для ее изучения можно применить широко известный способ моделирования, с которым школьники знакомятся на уроках информатики.

При разработке модели какого-либо объекта или явления учитывают только его главные характеристики, имеющие значение для успешного решения данной конкретной задачи; все другие характеристики, как несущественные для данной задачи, во внимание не принимаются.

В модели шарообразной Земли поверхность Земли имеет сферическую форму; здесь важен лишь радиус сферы, а все остальное - морские впадины, горы, равнины, - несущественно. В этой модели используется геометрия сферы, теория которой сравнительно проста и очень хорошо разработана.

Модель эллипсоида вращения имеет две характеристики: размеры большой и малой полуосей. В этой модели используется геометрия эллипсоида вращения, которая намного сложнее геометрии сферы, хотя разработана также достаточно подробно.

Если участок поверхности Земли небольшой, то иногда оказывается возможным применить для этого участка модель плоской поверхности; в этой модели применяется геометрия плоскости, которая по сложности (а точнее, по простоте) несравнима с геометрией сферы, а тем более с геометрией эллипсоида.

В одном из учебников по высшей геодезии написано: "Понятие фигуры Земли неоднозначно и имеет различную трактовку в зависимости от использования получаемых данных". При решении геодезических задач можно иногда считать поверхность участка Земли либо частью плоскости, либо частью сферы, либо частью поверхности эллипсоида вращения и т.д.

Какое направление вполне однозначно и очень просто можно определить в любой точке Земли без специальных приборов? Конечно же, направление силы тяжести; стоит подвесить на нить груз, и натянутая нить зафиксирует это направление. Именно это направление является в геодезии основным, так как оно существует объективно и легко и просто обнаруживается. Направления силы тяжести в разных точках Земли непараллельны, они радиальны, то есть почти совпадают с направлениями радиусов Земли.

Поверхность, всюду перпендикулярная направлениям силы тяжести, называется уровенной поверхностью. Уровенные поверхности можно проводить на разных высотах; все они являются замкнутыми и почти параллельны одна другой.

Уровенная поверхность, совпадающая с невозмущенной поверхностью мирового океана и мысленно продолженная под материки, называется основной уровенной поверхностью или поверхностью геоида.

Если бы Земля была идеальным шаром и состояла из концентрических слоев различной плотности, имеющих постоянную плотность внутри каждого слоя, то все уровенные поверхности имели бы строго сферическую форму, а направления силы тяжести совпадали бы с радиусами сфер. В реальной Земле направления силы тяжести зависят от распределения масс различной плотности внутри Земли, поэтому поверхность геоида имеет сложную форму, не поддающуюся точному математическому описанию, и не может быть определена только из наземных измерений.

В настоящее время при изучении физической поверхности Земли роль вспомогательной поверхности выполняет поверхность квазигеоида, которая может быть точно определена относительно поверхности эллипсоида по результатам астрономических, геодезических и гравиметрических измерений. На территории морей и океанов поверхность квазигеоида совпадает с поверхностью геоида, а на суше она отклоняется от него в пределах двух метров (рис.1.1).

Рис.1.1.1

За действительную поверхность Земли принимают на суше ее физическую поверхность, на территории морей и океанов - их невозмущенную поверхность.

Что значит изучить действительную поверхность Земли? Это значит определить положение любой ее точки в принятой системе координат. В геодезии системы координат задают на поверхности эллипсоида вращения, потому что из простых математических поверхностей она ближе всего подходит к поверхности Земли; поверхность этого эллипсоида называется еще поверхностью относимости. Эллипсоид вращения принятых размеров, определенным образом ориентированный в теле Земли, на поверхность которого относятся геодезические сети при их вычислении, называется референц-эллипсоидом.

Для территории нашей страны постановлением Совета Министров СССР N 760 от 7 апреля 1946 года принят эллипсоид Красовского:
большая полуось a = 6 378 245 м, малая полуось b = 6 356 863 м, полярное сжатие:

                   (1.1.1)

Применяемые в разных странах референц-эллипсоиды могут иметь неодинаковые размеры; существует и общеземной эллипсоид, размеры которого утверждают Международные геодезические организации. Так, в системе WGS-84 (World Geodetic System) эти размеры суть большая полуось a = 6 378 137.0 м, полярное сжатие:

Малая полуось при необходимости вычисляется через a и α.

Для многих задач геодезии поверхностью относимости может служить сфера, которая в математическом отношении еще проще, чем поверхность эллипсоида вращения, а для некоторых задач небольшой участок сферы или эллипсоида можно считать плоским.

Центральная проекция

 

Чтобы изобразить объемный предмет на плоском чертеже, применяют метод проекций. К простейшим проекциям относятся центральная и ортогональная проекции.

При центральной проекции (рис.1.2.1) проектирование выполняют линиями, исходящими из одной точки, которая называется центром проекции. Пусть требуется получить центральную проекцию четырехугольника ABCD на плоскость проекции P; центр проекции - точка S.

Проведем линии проектирования до пересечения с плоскостью проекции, получим точки a, b, c, d, являющиеся проекциями точек A, B, C, D. Плоскость проекции и объект могут располагаться по разные стороны от центра проекции; так при фотографировании центром проекции является оптический центр объектива, а плоскостью проекции - фотопластинка или фотопленка.

Рис.1.2.1

Ортогональная проекция

При ортогональной проекции линии проектирования перпендикулярны плоскости проекции. Проведем через точки A, B, C, D линии, перпендикулярные плоскости проекции P; в пересечении их с плоскостью P получим ортогональные проекции a, b, c, d соответствующих точек (рис.1.2.2)

Рис.1.2.2

Горизонтальная проекция

Чтобы изобразить на бумаге участок земной поверхности, нужно выполнить две операции: сначала спроектировать все точки участка на поверхность относимости (на поверхность эллипсоида вращения, или на поверхность сферы) и затем изобразить поверхность относимости на плоскости. Если участок местности небольшой, то соответствующий ему участок сферы или поверхности эллипсоида можно заменить плоскостью и считать, что проектирование выполняется сразу на плоскость.

При проектировании отдельных точек и целых участков земной поверхности на поверхность относимости применяется горизонтальная проекция, в которой проектирование выполняют отвесными линиями.

Пусть точки A, B, C находятся на поверхности Земли (рис.1.2.3). Спроектируем их на поверхность относимости и получим их горизонтальные проекции - точки a, b, c. Линия ab называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением линии местности AB и обозначается буквой S. Угол между линией AB и ее горизонтальной проекцией AB' называется углом наклона линии и обозначается буквой ν.

Расстояния Aa, Bb, Cc от точек местности до их горизонтальных проекций называются высотами или альтитудами точек и обозначаются буквой H (H_A, H_B, H_C); отметка точки - это численное значение ее высоты. Разность отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h: h_AB = H_B - H_A.

 

Рис.1.2.3

1.2.4 Способы определения положения точек на местности.

Положение любой точки местности определяют относительно каких-либо точек или линий, положение которых известно заранее, чаще всего относительно отрезков прямых, концы которых отмечены на местности специальными знаками.

Пусть требуется определить положение некоторой точки М местности относительно известных точек А и В, составляющих исходную прямую АВ. Возможны следующие простые и распространенные на практике способы решения такой задачи.

Способ перпендикуляров (способ прямоугольных координат). Опустим из точки М (рис. 1.2.4) на прямую АВ перпендикуляр, основание которого определится точкой С. Если измерить на местности величину перпендикуляра у = МО и расстояние х = АС от точки А до основания перпендикуляра С, то эти две линейные величины однозначно определят положение искомой точки М относительно исходного отрезка АВ. Длины х и у можно представить плоскими прямоугольными координатами точки М, поэтому описанный способ называют способом перпендикуляров или способом координат.

 

 

Рис. 1.2.4

 

Способ полярных координат. Положение искомой точки М можно определить, измерив в точке А горизонтальный угол α и горизонтальное расстояние АМ = 1. При этом прямую АВ называют полярной осью, а угол   – полярным углом, отрезок l – радиусом вектором.

 

М

Рис. 1.2.5

Способ прямой угловой засечки. Положение точки М можно определить, измерив два горизонтальных угла α и β в точках А и В. При этом отрезок АВ = b называют базисом засечки. В этом способе положение точки М определяется, таким образом, двумя угловыми величинами α и β.

Рис. 1.2.6

 

Способ линейной засечки. Для определения положение точки М измеряют две линейные величины АМ = S₁ и ВМ = S ₂. Базисом засечки b является отрезок АВ.

 

Рис. 1.2.7

Искажение расстояний

Небольшой участок сферической поверхности при определенных условиях можно принять за плоскость.

Применение модели плоской поверхности при решении геодезических задач возможно лишь для небольших участков поверхности Земли, когда искажения, вызванные заменой поверхности сферы или эллипсоида плоскостью невелики и могут быть вычислены по простым формулам. Это тем более оправдано, если учесть, что измерения на местности и чертежные работы всегда выполняются с ошибками, а потому небольшую часть сферы (эллипсоида), отличающуюся от плоскости на величину, меньшую ошибок измерений, можно считать плоской.

Рассчитаем, какое искажение получит дуга окружности, если заменить ее отрезком касательной к этой дуге. На рис.1.2.8 точка O - центр окружности, дуга ABC радиусом R стягивает центральный угол ε. Проведем касательную через середину дуги в точке B и, продолжив радиусы OA и OC до пересечения с касательной, получим точки A' и C'.

Рис.1.2.8

Пусть дуга ABC имеет длину D, а отрезок касательной A'C' - длину S. Известно, что для окружности D = R* ε, причем угол ε должен быть выражен в радианах.

Из ΔOBC' имеем:

S/2=R*tg(ε/2) или S = 2 R tg(ε/2) (1.2.1)

Разность (S - D) обозначим через ΔD и напишем

ΔD=R*[2*tg(ε/2)- ε] (1.2.2)

Разложим tg(ε/2) в ряд, ограничившись ввиду малости угла ε/2 двумя членами разложения,

или .

Подставим это выражение в формулу (1.2.2) и получим

.

Но ε = D/R, поэтому

.

Отношение ΔD/D называется относительным искажением длины дуги при замене ее отрезком касательной, оно будет равно:

(1.2.3)

Абсолютные и относительные значения погрешностей, вычисленные соответственно по формулам (1.2.2) и 1.2.3) для участков земной поверхности, приведены ниже. Для расчетов радиус Земли R взят равным 6370 км:

D, км	10	20	25	50	100
ΔD, см	1	7	13	103	821
ΔD/D	1:1 000 000	1:300 000	1:200 000	1:49 000	1:12 000

 

 Учитывая реальную точность с которой теперь производят измерения линий на местности при геодезических работах участок сферы 20 х 20 км можно считать плоским, погрешности от замены уровенной поверхности плоскостью не имеют практического значения.. При работах пониженной точности размеры участка сферы, принимаемого за плоскость, можно увеличить.

Искажение высот точек

 

Если заменить небольшой участок сферы касательной плоскостью, то будут искажены не только длины линий, но и отметки точек. Изменения отметок симметричны относительно точки B и зависят от удаления от этой точки; обозначим отрезок BC', равный половине отрезка A'C', через s. Отметка точки C', находящейся на плоскости, отличается от отметки точки C, лежащей на сфере, на величину отрезка CC'=p (рис.1.2.8).

Из треугольника OBC' следует:

R² + s² = (R + p)²,

откуда получаем:

(1.2.4)

В знаменателе величина p намного меньше величины 2*R, поэтому, отбросив ее, мы допустим несущественную ошибку. Таким образом,

(1.2.5)

Для различных расстояний определим следующие поправки в высоты точек местности:

s, км	0,3	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0	20,0
р, м	0,01	0,02	0,08	0,31	1,96	7,85	31,40

 

Влияние кривизны Земли на отметки точек нужно учитывать при любых расстояниях между точками.

ЛЕКЦИЯ №5-7

Измерения в геодезии

Измерения являются важной составной частью геодезических работ; именно из измерений получают количественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Геодезистам приходится измерять длины линий, горизонтальные и вертикальные углы, превышения между точками местности, температуру воздуха, ускорение свободного падения, интервалы времени и многое другое. Результаты измерений могут использоваться как непосредственно, так и как промежуточные величины для вычисления таких характеристик объекта, которые либо вообще нельзя измерить, либо их измерение требует слишком больших затрат времени и средств.

Методика выполнения измерений разрабатывается конкретно для каждого вида измерений и имеет целью достичь необходимую точность результатов при наименьшей трудоемкости процесса.

С точки зрения теории обработки измерений все измерения нужно разделить на необходимые и избыточные. Если количество неизвестных величин равно t, а количество измерений равно n, причем n>t, то t измерений являются необходимыми, а (n-t) - избыточными.

Простой пример: чтобы узнать значение угла, достаточно измерить его один раз (t=1); на практике угол измеряют несколькими приемами, получая n его значений; следовательно, (n-1) измерений избыточны.

Все измерения сопровождаются ошибками, и главная задача обработки измерений - устранение противоречий между результатами измерений, содержащими ошибки, и математической моделью, включающей численные значения измеряемых величин. Решение этой задачи из-за наличия избыточных измерений неоднозначно, поэтому для получения единственного решения на него накладывают одно или несколько дополнительных условий. В геодезии такое условие записывают в виде:

, (1.3.1)
или
, (1.3.2)

то-есть, из всех возможных решений выбирается такое, в котором сумма квадратов поправок V_i в результаты измерений имеет наименьшее значение; буквой p_i обозначен вес i-того измерения.

В теории обработки измерений для знака "сумма" используются два символа: и [ ].

Обработку измерений при наличии избыточных измерений под условием (1.3.1) или (1.3.2) называют уравниванием по методу наименьших квадратов, сокращенно МНК. В зарубежной литературе вместо термина "уравнивание по МНК" часто используют термин "оценивание по МНК".

Уравнивание по МНК можно выполнять двумя способами; первый называется параметрическим, второй - коррелатным. Обозначим через n общее количество измерений, через t - количество определяемых элементов и через r - количество избыточных измерений (r = n - t).

В первом способе сначала получают приближенные значения определяемых элементов, сводя задачу к нахождению t параметров-поправок к этим приближенным значениям. Затем составляют n параметрических уравнений (по количеству измерений), преобразуют их и получают t нормальных уравнений с t неизвестными параметрами. Решают нормальные уравнения, затем вычисляют значения определяемых элементов и выполняют оценку точности.

Во втором способе составляют r условных уравнений с n неизвестными поправками к результатам измерений и после их преобразования получают r нормальных уравнений с r неизвестными вспомогательными множителями, называемыми коррелатами. Решают все r уравнений как систему, находят значения коррелат и по ним вычисляют поправки к измерениям; определяемые элементы вычисляют по значениям исправленных измерений любым из возможных способов.

Трудоемкость того или другого варианта при ручном счете зависит от соотношения t и r; если t > r, то предпочтительнее второй вариант, если t < r, то - первый. При счете на ЭВМ как правило используют первый вариант.

В результате уравнивания достигают следующих целей:

· вычисляют наиболее надежные, наиболее достоверные значения неизвестных величин,

· вычисляют и оценивают поправки в измеренные элементы для при ведения их в соответствие с геометрическими условиями конкретной модели,

· выполняют оценку точности уравненных элементов модели.

Измерение расстояний

Мерные приборы

Различают непосредственное измерение расстояний и измерение расстояний с помощью специальных приборов, называемых дальномерами. Непосредственное измерение выполняют инварными проволоками, мерными лентами и рулетками.

Инварные проволоки позволяют измерять расстояние с наибольшей точностью; относительная ошибка измерения может достигать одной миллионной; это означает, что расстояние в 1 км измерено с ошибкой всего 1 мм. Инвар - это сплав, содержащий 64% железа и 36% никеля; он отличается малым коэффицентом линейного расширения α = 0.5 * 10^-6 (для сравнения: сталь имеет α = 12 * 10^-6).

Мерные ленты обеспечивают точность измерений около 1 / 2 000, т.е. для расстояния в 1 км ошибка может достигать 50 см. Мерная лента - это стальная лента шириной от 10 до 20 мм и толщиной 0.4 - 0.5 мм (рис.1.3.1). Мерные ленты имеют длину 20, 24 и 50 м. Целые метры отмечены пластинами с выбитыми на них номерами метров, полуметры отмечены круглыми заклепками, дециметры - круглыми отверстиями диаметром 2 мм.

Рис.1.3.1

Фактическая длина ленты или проволоки обычно отличается от ее номинальной длины на величину Δl. Фактическую длину ленты определяют, сравнивая ее с эталонной мерой. Процесс сравнения длины мерного прибора с эталоном называется компарированием, а установка, на которой производится компарирование, - компаратором.

Согласно ГОСТ 7502 - 80 допускается отклонение фактической длины новой ленты 2 мм для 20- и 30-метровых лент и 3 мм для 50-метровых. Вследствие износа фактическая длина ленты изменяется, поэтому компарирование производится каждый раз перед началом полевых работ.

Длина стальных рулеток бывает 20, 30, 50, 75 и 100 м. Точность измерения расстояния стальными рулетками зависит от методики измерений и колеблется от 1/2 000 до 1/10 000.

Измерение линий мерной лентой. Измеряют линии, последовательно укладывая мерную ленту в створе линии. Прежде чем измерять линию, ее нужно подготовить, а именно: закрепить на местности ее концевые точки и обозначить створ. Створом линии называют отвесную плоскость, проходящую через концевые точки. Для обозначения створа линию провешивают, т.е. устанавливают вехи через 50-150 м в зависимости от рельефа.

Измерение линии выполняют два человека. Они укладывают ленту в створ и считают число уложений. В комплект кроме самой ленты входят 6 или 11 шпилек и 2 проволочных кольца (рис.1.3.1), на которые надевают шпильки. Передний мерщик в процессе измерения линии втыкает шпильки в землю, а задний собирает их. В конце линии измеряют остаток с точностью до 1 см.

Длину линии определяют по формулам:

D'= k * (l₀ + Δl) + r + (Δl/l₀) * r, (1.3.30)

D = D'+ D'* a * (t - t_k) = D' * [1 + a * (t - t_k)];

здесь l₀- номинальная длина ленты;

Δl - поправка из компарирования;

k - число уложений ленты;

r - остаток;

t_k - температура компарирования;

t - температура ленты во время работы.

Длину линии обычно измеряют два раза - в прямом и обратном направлениях. Допускается расхождение между результатами двух измерений на величину:

где 1/T - относительная ошибка измерения расстояния.

Например, при 1/T = 1/2000 и длине линии 500 м расхождение между прямым и обратным измерениями не должно превышать 0.5 м.

Приведение длины линии к горизонту. Измеренная линия имеет угол наклона ν; проекция ее на горизонтальную плоскость, называемая горизонтальным проложением линии, вычисляется по формуле:

S = D - ΔD,

где ΔD- поправка за приведение к горизонту. Формула для вычисления поправки ΔD выводится следующим образом. Из ΔABB' (рис.1.3.2) видно, что:

S = D * Cos ν;

далее пишем:

ΔD = D - D * Cos ν = D * (1 - Cosν),

ΔD = 2 * D * Sin2 ν/2. (1.3.31)

Угол наклона линии измеряют либо теодолитом, либо специальным прибором - эклиметром. В исправном эклиметре нулевой диаметр всегда занимает горизонтальное положение. При наклоне эклиметра в прорезь виден отсчет, равный углу наклона линии. Ошибка измерения угла наклона эклиметром равна 15'- 30'.

Рис.1.3.2

Если линия имеет переменный угол наклона, то ее нужно разделить на части, каждая из которых имеет постоянный угол наклона, и измерить каждую часть отдельно.

Если ν<1⁰, то поправку за приведение к горизонту учитывать не нужно. Покажем это:

ΔD/D =2 * Sin2(ν/2); Sin(ν/2) = Sin30'= 1/115;

ΔD/D = 1/6500.

При ν=1⁰ поправка за наклон не превышает 1/6500, а точность измерений мерной лентой - около 1/2000, следовательно, поправкой за наклон можно пренебречь.

Поправку ΔD за наклон линии можно вычислять и через превышение h точки B над точкой A. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABB':

D² = S² + h²,

и выразим S

S = D * (1 - h²/D²)^1/2.

Для выражения в скобках выполним разложение в ряд, ограничившись двумя членами разложения,

Тогда

и

При измерении расстояний мерными лентами и рулетками второе слагаемое иногда не учитывают и применяют формулу:

(1.3.32)

Лекция 8

Рис.7.2

 

Лекция №9

РАЗДЕЛ 2

2.1 Масштабы. Понятие о плане, карте и профиле местности

Масштабы

Масштабом называется степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности при изображении их на плане, карте или аэроснимке. Различают численный и графические масштабы; к последним относятся линейный, поперечный и переходный масштабы.

Численный масштаб. Численный масштаб выражается в виде дроби, числитель которой равен единице, а в знаменателе стоит число, показывающее степень уменьшения горизонтальных проложений. На топографических картах численный масштаб подписывается внизу листа карты в виде 1:М, например, 1:10000. Если длина линии на карте равна s, то горизонтальное проложение S линии местности будет равно:

S = s * M. (2.1.1)

В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт: 1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1:100 000, 1:50 000, 1:25 000, 1:10 000. Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.

Линейный масштаб. Линейный масштаб - это графический масштаб; он строится в соответствии с численным масштабом карты в следующем порядке:

· проводится прямая линия и на ней несколько раз подряд откладывается отрезок a постоянной длины, называемый основанием масштаба (при длине основания a=2 см линейный масштаб называется нормальным); для масштаба 1:10 000 a соответствует 200 м,

· у конца первого отрезка ставится нуль,

· влево от нуля подписывают одно основание масштаба и делят его на 20 частей,

· вправо от нуля подписывают несколько оснований,

· параллельно основной прямой проводят еще одну прямую и между ними прочерчивают короткие штрихи (рис.2.1.1).

Рис.2.1.1

Линейный масштаб помещается внизу листа карты.