Начальные сведения из теории ошибок

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок - нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ - это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:

(1.3.3)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,

2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,

3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:

(1.3.4)

4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:

(1.3.5)

где: ;

n - количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δ_пред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δ_пред = 3*m.

Отношение m_x/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, m_x/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

F = f(X, Y, Z...), (1.3.6)

здесь: X, Y, Z... - истинные значения аргументов,
F - истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов l_X, l_Y, l_Z, при этом:

(1.3.7)

где Δ_X, Δ_Y, Δ_Z - случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргументов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений Δ_X, Δ_Y, Δ_Z:

(1.3.8)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:

(1.3.9)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,

(1.3.10)

Как частные случаи формулы (1.3.10) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:

Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:

(1.3.11)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.3.10).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.3.10) или (1.3.11) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,

(1.3.12)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:

(1.3.13)

Величина (1.3.14)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.3.13) в виде

по третьему свойству ошибок (1.3.4) можно написать:

что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.3.14) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.3.10) напишем:

или

Но m_l1 = m_l2 =... = m_ln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m², одно n сократится и в итоге получим:

M² = m²/n

или

(1.3.15)

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.3.5) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l₁, l₂,..., l_n.

Вычислим арифметическую середину X₀ = [1]/n и образуем разности:

(1.3.16)

Сложим все разности и получим [l] - n * X₀ = [V]. По определению арифметической середины n * X₀ = [l], поэтому:

[V] = 0. (1.3.17)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:

(1.3.18)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:

(1.3.19)

Разность (X₀ - X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ₀ и перепишем уравнения (1.3.19):

(1.3.20)

Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:

.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,

.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ²]/n =m², получим:

(1.3.21)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ₀ ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.3.21). Итак,

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.3.18).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.3.15) получается формула:

(1.3.22)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения - это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m² (1.3.23)

где C - в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:

(1.3.24)
или X₀ = [l*p] / [p].

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.3.23) получаем

откуда (1.3.25)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:

(1.3.26)

Согласно (1.3.24) и (1.3.10) напишем:

Подставим сюда вместо m_li² их выражения через вес m² = C/p, тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p], (1.3.27)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.3.27) принимает вид:

P = n. (1.3.28)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:

(1.3.29)

где p_i - вес i-того элемента.

Измерение расстояний

Мерные приборы

Различают непосредственное измерение расстояний и измерение расстояний с помощью специальных приборов, называемых дальномерами. Непосредственное измерение выполняют инварными проволоками, мерными лентами и рулетками.

Инварные проволоки позволяют измерять расстояние с наибольшей точностью; относительная ошибка измерения может достигать одной миллионной; это означает, что расстояние в 1 км измерено с ошибкой всего 1 мм. Инвар - это сплав, содержащий 64% железа и 36% никеля; он отличается малым коэффицентом линейного расширения α = 0.5 * 10^-6 (для сравнения: сталь имеет α = 12 * 10^-6).

Мерные ленты обеспечивают точность измерений около 1 / 2 000, т.е. для расстояния в 1 км ошибка может достигать 50 см. Мерная лента - это стальная лента шириной от 10 до 20 мм и толщиной 0.4 - 0.5 мм (рис.1.3.1). Мерные ленты имеют длину 20, 24 и 50 м. Целые метры отмечены пластинами с выбитыми на них номерами метров, полуметры отмечены круглыми заклепками, дециметры - круглыми отверстиями диаметром 2 мм.

Рис.1.3.1

Фактическая длина ленты или проволоки обычно отличается от ее номинальной длины на величину Δl. Фактическую длину ленты определяют, сравнивая ее с эталонной мерой. Процесс сравнения длины мерного прибора с эталоном называется компарированием, а установка, на которой производится компарирование, - компаратором.

Согласно ГОСТ 7502 - 80 допускается отклонение фактической длины новой ленты 2 мм для 20- и 30-метровых лент и 3 мм для 50-метровых. Вследствие износа фактическая длина ленты изменяется, поэтому компарирование производится каждый раз перед началом полевых работ.

Длина стальных рулеток бывает 20, 30, 50, 75 и 100 м. Точность измерения расстояния стальными рулетками зависит от методики измерений и колеблется от 1/2 000 до 1/10 000.

Измерение линий мерной лентой. Измеряют линии, последовательно укладывая мерную ленту в створе линии. Прежде чем измерять линию, ее нужно подготовить, а именно: закрепить на местности ее концевые точки и обозначить створ. Створом линии называют отвесную плоскость, проходящую через концевые точки. Для обозначения створа линию провешивают, т.е. устанавливают вехи через 50-150 м в зависимости от рельефа.

Измерение линии выполняют два человека. Они укладывают ленту в створ и считают число уложений. В комплект кроме самой ленты входят 6 или 11 шпилек и 2 проволочных кольца (рис.1.3.1), на которые надевают шпильки. Передний мерщик в процессе измерения линии втыкает шпильки в землю, а задний собирает их. В конце линии измеряют остаток с точностью до 1 см.

Длину линии определяют по формулам:

D'= k * (l₀ + Δl) + r + (Δl/l₀) * r, (1.3.30)

D = D'+ D'* a * (t - t_k) = D' * [1 + a * (t - t_k)];

здесь l₀- номинальная длина ленты;

Δl - поправка из компарирования;

k - число уложений ленты;

r - остаток;

t_k - температура компарирования;

t - температура ленты во время работы.

Длину линии обычно измеряют два раза - в прямом и обратном направлениях. Допускается расхождение между результатами двух измерений на величину:

где 1/T - относительная ошибка измерения расстояния.

Например, при 1/T = 1/2000 и длине линии 500 м расхождение между прямым и обратным измерениями не должно превышать 0.5 м.

Приведение длины линии к горизонту. Измеренная линия имеет угол наклона ν; проекция ее на горизонтальную плоскость, называемая горизонтальным проложением линии, вычисляется по формуле:

S = D - ΔD,

где ΔD- поправка за приведение к горизонту. Формула для вычисления поправки ΔD выводится следующим образом. Из ΔABB' (рис.1.3.2) видно, что:

S = D * Cos ν;

далее пишем:

ΔD = D - D * Cos ν = D * (1 - Cosν),

ΔD = 2 * D * Sin2 ν/2. (1.3.31)

Угол наклона линии измеряют либо теодолитом, либо специальным прибором - эклиметром. В исправном эклиметре нулевой диаметр всегда занимает горизонтальное положение. При наклоне эклиметра в прорезь виден отсчет, равный углу наклона линии. Ошибка измерения угла наклона эклиметром равна 15'- 30'.

Рис.1.3.2

Если линия имеет переменный угол наклона, то ее нужно разделить на части, каждая из которых имеет постоянный угол наклона, и измерить каждую часть отдельно.

Если ν<1⁰, то поправку за приведение к горизонту учитывать не нужно. Покажем это:

ΔD/D =2 * Sin2(ν/2); Sin(ν/2) = Sin30'= 1/115;

ΔD/D = 1/6500.

При ν=1⁰ поправка за наклон не превышает 1/6500, а точность измерений мерной лентой - около 1/2000, следовательно, поправкой за наклон можно пренебречь.

Поправку ΔD за наклон линии можно вычислять и через превышение h точки B над точкой A. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABB':

D² = S² + h²,

и выразим S

S = D * (1 - h²/D²)^1/2.

Для выражения в скобках выполним разложение в ряд, ограничившись двумя членами разложения,

Тогда

и

При измерении расстояний мерными лентами и рулетками второе слагаемое иногда не учитывают и применяют формулу:

(1.3.32)

Лекция 8