Логарифмические частотные характеристики

Так как при построении АФЧХ, АЧХ и ФЧХ частота и амплитуда изменяются в очень больших пределах, то с использованием процедуры логарифмирования можно значительно уменьшить изображения этих характеристик.

При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают величину

20lgA(w) = 20lg½W(jw)½= L(w),                                                   (1.3.21)

единицей измерения для которой является децибел.

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе (рис.1.3.6).

Равномерной единицей на оси абсцисс является декада - любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза w_c.

Начало координат помещают в точке w=1, так как lg1=0. При L=0 A=1, т.е. система пропускает сигнал в натуральную величину. При L>0 происходит усиление, а при L<0 - ослабление амплитуды.

Рис.1.3.6. Логарифмические амплитудно-частотные и
фазо-частотные характеристики

Типовые звенья САУ

Современные САУ состоят из элементов (звеньев), разнообразных по конструкции, материалам и виду использованной энергии элементов, выполняющих различные функции.

Типы звеньев САУ различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики.

Основные типы звеньев делятся на 3 группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

Позиционные звенья

Позиционными звеньями называются такие, в передаточной функции которых

                                                                                (1.4.1)

многочлены В(Р) и С(Р) имеют свободные члены (равные I), т.е. эти звенья обладают статической характеристикой Y=KX при P=0, определяющей их состояние равновесия (свойство позиционности).

1. Идеальное усилительное звено в статике и в динамике описывается алгебраическим уравнением, а передаточная функция его является коэффициентом усиления (передачи):

Y(t)=KX(t); W(P)=K.                                                                      (1.4.2)

Амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная, фазо-частотная и логарифмическая амплитудно-частотные характеристики приведены на рис.1.4.1 и представляют собой следующие выражения:

W(jw)=K, A(w)=K, j(w)=0.                                                            (1.4.3)

Переходная и весовая функции:

h(t)=K (t>0), K(t)=K₁d(t).                                                               (1.4.4)

 

Рис.1.4.1. Частотные характеристики идеального звена

Примерами идеального звена могут быть большинство датчиков, делители напряжения, широкополосный электронный усилитель, механический редуктор.

2. Апериодическое (инерционное) звено описывается уравнением и передаточной функцией

.                                                     (1.4.5)

Частотные функции звена имеют вид (рис.1.4.2)

j(w)=arctgTw, W(jw)=U(w)+jV(w),

.                                  (1.4.6)

Переходная функция, согласно решению уравнения звена, при X=1(t) и нулевых начальных условиях имеет вид

,

а весовая функция

.

Рис.1.4.2. Частотные характеристики апериодического звена

Примерами апериодического звена являются электродвигатель, термопара и LR цепь.

3. Апериодическое звено 2-го порядка описывается дифференциальным уравнением и передаточной функцией:

,        (1.4.7)

т.е. апериодическое звено 2-го порядка эквивалентно последовательному включению двух простых апериодических звеньев, у которых K₁K₂=K.

Частотные свойства звена имеют вид (рис.1.4.3):

,

j(w)=-arctgT₁w-arctgT₂w,

,        (1.4.8)

,

, t>0.

Примерами могут служить: двойная LR цепочка, электромашинный усилитель, двигатель постоянного тока с электрической цепью статора и якоря.

Рис.1.4.3. Частотные характеристики апериодического
звена 2-го порядка

4. Колебательное звено имеет математическое описание, близкое к описанию апериодического звена при T₁=T₂:

,                     (1.4.9)

где а - коэффициент демпфирования колебаний (затухания), 0<a<1 и чем больше а, тем быстрее затухают колебания.

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.4):

,

,                           (1.4.10)

,

 

.

Рис.1.4.4. Частотные характеристики колебательного звена

Примерами колебательных звеньев могут быть: последовательное или параллельное соединение LCR цепочек (звеньев), гидродинамический усилитель, электрический контур резонансного стабилизатора.

Частный случай колебательного звена при a=0, когда h(t) и K(t) становятся незатухающими (периодическими), носит название консервативного звена.

Коэффициент а в математике, в радиотехнике и теории автоматического управления называют декрементом затухания.

В результате исследований доказано, что оптимальные переходные режимы достигаются при a» 0,7. В этом случае перерегулирование составляет около 4,3% (критерий по ограничению задается 5%), время переходного процесса не превышает 2pT, т.е.

t_пп» 4,7aT.

При этих значениях обеспечивается технический оптимум или оптимальный модуль.

При а=0,5 перерегулирование превышает 30%, длительность увеличивается в 2 раза. При a ³1 длительность переходного процесса в 3-4 раза больше.

Дифференцирующие звенья

Дифференцирующие звенья реагируют на скорость изменения входного воздействия. Рассмотрим идеальное (безынерционное), реальное (инерционное и форсирующее звенья).

1. Идеальное (безынерционное) дифференцирующее звено описывается уравнением и передаточной функцией

, W(P)=KP.                                                                   (1.4.11)

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.5):

W(jw) = jKw, A(w) =Kw, j = +90°,

L(w) = 20 lgK + 20 lgw, h(t) = Kd(t), .                   (1.4.12)

Рис. 1.4.5. Частотные характеристики идеального
дифференцирующего звена

Примерами идеального дифференцирующего звена может служить тахогенератор и RC цепочка с усилителем.

2. Реальное (инерционное) дифференцирующее звено описывается уравнением и передается функцией

,                                                (1.4.13)

т.е. является последовательным соединением двух простых звеньев - идеального дифференцирующего с передаточной функцией K₁P и апериодического с передаточной функцией K₂/(1+TР), где K₁K₂=K.

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.6):

 j=90°- arctgTw,

,

.                                         (1.4.14)

 

Рис. 1.4.6. Частотные характеристики реального
(инерционного) дифференцирующего звена

 

3. Форсирующее звено является реальным дифференцирующим звеном, получаемым при параллельном соединении пропорционального и дифференцирующего звеньев, с уравнением и передаточной функцией:

, W(P)=K(TР+1)                                                 (1.4.15)

Частотные характеристики звена имеют вид (рис.1.4.7):

W(jw)=K(1+jTw), , j=arctgTw,

,

h(t)=K(1+Td(t)), .                                    (1.4.16)

Рис. 1.4.7. Частотные характеристики форсирующего
звена

Интегрирующие звенья

В интегрирующих звеньях выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины. В отличие от позиционных звеньев интегрирующие звенья не приходят к установившемуся новому состоянию, а их выходная величина имеет тенденцию к неограниченному увеличению.

1. Идеальное интегрирующее звено характеризуется пропорциональностью между входной величиной и скоростью изменения выходной величины. Описывается уравнением, передаточной функцией и частотными характеристиками (рис.1.4.8):

j(w) = -90°,

 L(w) = 20 lgK - 20 lgw,                                        (1.4.17)

h(t)=Kt× 1 (t), K(t)=K× 1 (t).

2. Реальное (инерционное) интегрирующее звено описывается уравнением и передаточной функцией

.                                         (1.4.18)

Рис. 1.4.8. Частотные характеристики идеального
интегрирующего звена

 

По существу оно является последовательным соединением двух простых звеньев - идеального интегрирующего  и апериодического K₂(1+TР)^-1.

Частотные характеристики звена имеют вид (рис. 1.4.9):

 , j(w)=-90-arctgTw,

,

.                              (1.4.19)

3. Изодромное звено описывается уравнением и передаточной функцией

,                                         (1.4.20)

где T=K₁/K₂ - постоянная времени.

Из передаточной функции следует, что звено это состоит из последовательного соединения идеально интегрирующего K₁/P и форсирующего K₂(1+TP) звеньев K₁K₂=K.

Рис. 1.4.9. Частотные характеристики реального
интегрирующего звена

Частотные характеристики имеют вид (рис.1.4.10):

, j(w)=-90+arctgTw,

,

h(t)=Kt+K₁, K(t)=K+K₁d(t).                                                          (1.4.21)

 

Рис.1.4.10. Частотные характеристики изодромного
звена

Передаточная функция САУ

Передаточной функцией системы называют отношение изображения Лапласа для выходной и входной величин при их начальных нулевых условиях и при отсутствии других воздействий. Она полностью определяет динамические свойства системы и представляет собой комплексное выражение (2.17)

.

Системы автоматического регулирования являются замкнутыми системами. Но при их анализе часто рассматривается разомкнутая цепь звеньев, которая затем замыкается. Составим сначала передаточные функции разомкнутой цепи звеньев.

1.5.1. Последовательное соединение звеньев(рис.1.5.1)

Рис.1.5.1. Последовательное соединение звеньев

Пусть заданы передаточные функции всех звеньев

(1.5.1)

Если перемножить все левые части и все правые части этих равенств, получим искомый результат

или                                                                                                  (1.5.2)

т.е. передаточная функция разомкнутой цепи последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев.

1.5.2. Параллельное соединение звеньев (рис.1.5.2,а)

Рис.1.5.2. Параллельное (а) и встречно-параллельное (б)
 соединение звеньев

Пусть заданы передаточные функции звеньев

Так как выходная величина цепи равна

,

то передаточная функция цепи получит вид

                                                                (1.5.3)

т.е. передаточная функция разомкнутой цепи из параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций всех звеньев.

1.5.3. Встречно-параллельное соединение звеньев (рис.1.5.2,б)

В таком соединении образуется замкнутый контур прохождения сигнала и создается эффект обратной связи.

Согласно схеме, обведенной пунктиром, имеем в изображениях по Лапласу

Y₂(P)=Y₁(P)-Y_oc(P), Y_oc(P)=W_oc(P)×Y₃(P).                                       (1.5.4)

Но далее

Y₃(P)=W₂(P)×Y₂(P)=W₂(P)(Y₁(P)-W_oc(P)Y₃(P)).                              (1.5.5)

Отсюда получаем

.                                                               (1.5.6)

Найдем передаточную функцию цепи с остальными звеньями путем перемножения выражения (1.5.6) с передаточными функциями последовательных звеньев:

 .                                                            (1.5.7)

На основании выражений (1.5.1)...(1.5.7) можно получить передаточные функции любых соединений звеньев (рис.1.5.3).

Рис.1.5.3. Эквивалентные преобразования структурных
схем САУ

1.5.4. Структурные преобразования САУ при переносе сумматора и воздействия параллельно контуру

Для удобства расчетов автоматических систем бывает необходимо преобразовывать структурную схему системы к какому-либо желаемому виду. Например, для построения логарифмических частотных характеристик наиболее удобно иметь цепь последовательно соединенных звеньев, тогда ЛЧХ системы просто строится суммированием ЛЧХ звеньев.

С основными правилами составления передаточных функций мы познакомились и закрепили на примере эквивалентных преобразований структурных схем САУ (рис.1.5.3):

а) САУ с главной обратной связью; б) САУ по ошибке и в) САУ по возмущающему воздействию F(t) (без входного воздействия).

Рассмотрим разработанные Б.Н.Петровым методы преобразования структурных схем, позволяющие облегчить анализ САУ.

При переносе сумматора и воздействия параллельно контуру через узлы разветвления (точки съема) сигналов учитывается направление относительного перемещения.Если это направление совпадает с направлением сигнала (рис.1.5.4,а), то для того, чтобы не изменился сигнал в узле и в отходящих от него ветвях, необходимо компенсировать это изменение путем добавления в отходящей ветви сумматора С2, аналогичного сумматору С1.

Рис.1.5.4. Перенос сумматора и воздействия
параллельно контуру

Если направление переноса сумматора и воздействия встречны, то в узле эквивалентной структурной схемы необходимо добавление восстанавливающего сумматора С2 (рис.1.5.4,б).

Перенос сумматора и воздействия через звено по направлению сигнала (рис.1.5.4,в) осуществляется добавлением звена с такой же передаточной функцией.

При несовпадении направлений переноса сумматора и воздействия с сигналом преобразование осуществляется включением в воздействующие цепи звеньев с обратной передаточной функцией (рис.1.5.4,г).