Решение дифференциальных уравнений САУ

Линеаризация и приведение к типовой форме дают временное уравнение динамики системы в общем виде

, (1.2.8)

где a₀, a₁,...a_n-1, a_n - коэффициенты при производных выходного параметра Y;

b₀,...b_m-1, b_m - коэффициенты при производных входного параметра.

Классический метод решения уравнения (1.2.8) заключается в получении аналитического выражения общего интеграла уравнения, который определяется суммой

Y(t) = Y_вын + Y_св(t),                                                                         (1.2.9)

где Y(t) - общее решение, дающее переходной процесс выходной величины в функции времени;

Y_вын - частное решение уравнения, определяющее вынужденное (установившееся) движение для производных равных нулю;

Y_св(t) - решение левой части уравнения (1.2.8), приравненное нулю (характеризует свободное движение).

В частном случае, когда корни характеристического уравнения l_i вещественные для характеристического уравнения

,                                                         (1.2.10)

получим

,                             (1.2.11)

где C_i - постоянные интегрирования, l_i - корни характеристического уравнения (1.2.10).

Если корни l_i мнимые, то в решении (1.2.11) будут и гармонические составляющие, т.е. будет происходить колебательный процесс.

1.2.4. Преобразование Лапласа

Для решения дифференциальных линейных уравнений удобно использовать операторный метод, при котором функции времени по определенным правилам заменяются соответствующими им операторными изображениями; по ним проводят решение, а затем переходят от изображений к самим значениям.

Операторным изображением какой-либо функции времени f(t), которую называют оригиналом, является функция F(P) комплексной переменной P=C+jw, связанная с ней преобразованием Лапласа:

;                                                          (1.2.12)

,                                                                (1.2.13)

где P - оператор Лапласа, l - знак изображения по Лапласу, C - реальная часть, w - мнимая часть.

Для получения изображения дифференциального уравнения в ТАУ чаще используют преобразование Карсона

,                                          (1.2.14)

где К - знак преобразования Карсона, отличающийся от знака по Лапласу умножением его на оператор Р.

Соответствующие преобразования

                                                      (1.2.15)

вычислены и сведены в таблицы, которые следует использовать при анализе САР:

                                  (1.2.16)

Передаточная функция звена

Структура системы, статические и динамические параметры входящих элементов полностью определяют ее свойства по отношению к входному воздействию. Если известны входные и выходные величины, может быть найдена и функция преобразования или передаточная функция.

Передаточной функцией системы или звена (элемента) называют отношение изображения Лапласа для выходной и входной величин при их начальных нулевых условиях и при отсутствии других воздействий. Она полностью определяет динамические свойства звена и системы и представляет собой комплексное выражение

W(P)=Y(P)/X(P).                                                                           (1.2.17)

Передаточная функция легко может быть найдена, если известно дифференциальное уравнение.

Составим передаточную функцию для простейшего элемента САР-обмотки возбуждения генератора с коэффициентом самоиндукции L и активным сопротивлением R (рис.1.2.2)

Рис.1.2.2. Схема обмотки возбуждения двигателя

При подаче на обмотку скачка напряжения U сила тока в ней нарастает в соответствии с дифференциальным уравнением

.                                                                               (1.2.18)

В операторной форме это уравнение будет выглядеть как

(TP+1)i=KU,                                                                                 (1.2.19)

где .

Отсюда

.                                                                       (1.2.20)