Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи системы частотного управления и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

По критерию Михайлова изменение аргумента должно быть равно np/2. Но если цепь замкнуть, то на выходе и входе должны быть одинаковые аргументы, т.е. DargФ(jw)=0. Это значит, что амплитудно-фазовая характеристика Ф(jw) не должна охватывать начало координат (рис.1.6.6,а). Если рассмат­ривать разомкнутую систему преобразованием из замкнутой, то

W(jw)=Ф(jw)-1.                                                                             (1.6.23)

Отсюда получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой цепи (рис.1.6.6,б).

Рис.1.6.6. Годографы Найквиста для замкнутой (а),
разомкнутой (б) устойчивой САУ и
неустойчивой САУ (в)

Определение критерия Найквиста

Замкнутая система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает на вещественной оси точку с координатой - 1.

Для примера САУ (рис.1.6.3) годограф Найквиста указывает область устойчивости САУ (рис.1.6.7).

Рис.1.6.7. Область устойчивости САУ

Качество работы САУ

Качество системы имеет смысл выяснять только после установления, что она устойчива. Наглядно представление о динамических свойствах САУ, ее качестве дает переходная функция. Качество системы характеризуется следующим: как быстро система реагирует на возмущения и как сильно их подавляет, каким путем она приходит в установившееся состояние и насколько точно воспроизводятся системой полезные сигналы после того, как установившееся состояние достигнуто.

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходных процессах отработки заданного воздействия объединяется понятием качества процесса управления (качества системы).

К основным показателям качества САУ относятся:

- быстродействие, t_пп;

- перерегулирование s;

- колебательность М;

- статическая и динамическая точность;

- добротность системы.

Быстродействие характеризуется (рис.1.7.1):

Рис.1.7.1. Типовые переходные функции САУ и показатели качества:
а - управляющее воздействие; б - возмущающее воздействие;
I - монотонные; 2 - апериодические; 3 - колебательные

а) общим временем переходного процесса t_пп, за которое выходная величина h(t) войдет в 5% зону. Современные САУ требуют t_пп£0,04-0,1;

б) временем первого согласования (регулирования) t_p за которое h(t) первый раз достигнет предполагаемого установившегося состояния;

в) временем первого максимума t_м;

г) временем затухания первого перерегулирования t_М.

Перерегулирование s% определяется максимальным отклонением выходной величины (перерегулирование Dh₁), отнесенным к ее заданному установившемуся значению.

Считается нормальным s=10-30%, допускается до 50%, но в ряде случаев требуется s£5%.

Колебательность характеризуется 4-мя показателями:

1. Показатель колебательности М, представляющий собой резонансное значение амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы в относительных единицах

M=f(s) или .

В хорошо сдемпфированных системах с перерегулированием не более 20-30% показатель М=1,1...1,3. Допускается до 1,6...1,8 при норме 1,3...1,5.

2. Числом колебаний n в одну сторону за время t_пп. Чаще всего допускают n=1...2, а иногда 3...4.

3. Декрементом затухания a, равным отношению модулей двух сменных перегулирований

a=Dh_м1/Dh_м2.

4. Угловой частотой колебаний w_к=2p/T_к .

Добротность системы , где W_e(P)=D₀+D_скP+D_ускP²; W_e(P)=  определяется по ЛАЧХ, продлив низкочастотную асимптоту, идущую с наклоном 20 дБ/дек, до пересечения с осью частот. Получим добротность системы по скорости. До пересечения с осью частот продлим низкочастотную асимптоту, идущую с наклоном 40 дБ/дек, и получим добротность по ускорению.

По среднечастотному участку ЛАЧХ определяют приблизительные показатели качества САУ.

Точность САУ и астатизм

Точность воспроизведения управляющих воздействий - одно из важнейших требований, предъявляемых к системам автоматического управления. Так как в реальных условиях действующие на систему управляющие (входные) и возмущающие воздействия носят случайный характер, приходится рассматривать ее свойства при действии различных типовых воздействий.

Оценку САУ проводят обычно для четырех наиболее часто применяемых режимов: неподвижное состояние, движение с постоянной скоростью, движение с постоянным ускорением, движение по гармоническому (синусоидальному) закону.

При постоянных управляющих X(t)=X₀=Const и возмущающих F(t)=F₀=Const воздействиях устанавливают статическую ошибку, которую определяют соответствующими передаточными функциями системы

e₀=e_x0+e_F0= .                                             (1.7.1)

С учетом W(0)=K и W_F(0)=K_F - коэффициентов передачи разомкнутой системы получим

.                                                                 (1.7.2)

Статическая ошибка в астатических системах теоретически отсутствует, а практически имеется из-за недостаточной чувствительности. Также отсутствует теоретическая ошибка по скорости из-за e_ск=0.

В статических системах ошибка складывается из статической ошибки e₀ и скоростной e_ск:

e_уст.ск.=e₀+e_ск.=e₀+v₀/K_ск.                                                                   (1.7.3)

Астатизм (ошибка по ускорению) систем 2-го порядка оценивается

e_уск=v/K_уск.

Ошибки системы по ускорению, если задано его значение, легко определить по логарифмической амплитудно-частотной характеристике, продолжив ее вторую асимптоту до пересечения с осью частот, найдя w₀, а затем и K_уск = .

Пример. Для заданных воздействий: скоростное v=20мм/с, постоянное ускорение =3мм/c²,гармоническое с амплитудой X_max=4мм и период T_n=8c, определим ошибки астатической системы автоматической ориентации сварочного электрода.

,

где K=6,6, T₁=0,12 с; T₂=0,05 с.

Чувствительность двигателя U_тр=6B (напряжение трогания). Находим статическую ошибку, исходя из параметров системы:

e₀=U_тр/K=6/6,6=0,9мм.

Скоростная ошибка

e_ск=v/K₀=20/6,6=3мм.

Для определения ошибки при воспроизведении гармонического воздействия сначала находим его частоту w_n=2p/T_п=0,8c^-1, затем модуль частотной функции L'(w) на этой частоте по ЛАЧХ (рис.1.5.5) A(w_n)=6,3.

e_{max уст}=X_max(w_n)=4/6,3=0,6мм.

Таким образом, исследованная на точность система, содержащая только функционально необходимые элементы, характеризуется очень малой точностью при всех видах воздействий и нуждается в совершенствовании с помощью коррекции.

Синтез САУ

Под синтезом понимают построение, создание, проектирование, настройку оптимальной системы по отношению к ее параметрам. Поэтому синтезом занимаются проектировщики, создатели САР. При эксплуатации уже созданных систем, например, серийно выпускаемых, речь может идти только о подстройке параметров при выходе системы из требуемых режимов по тем или иным причинам.

Методы синтеза

1. При создании САУ необходимого назначения прежде всего заботятся о том, чтобы она выполняла свои функции управления и регулирования с заданной точностью, имела оптимальный по технико-экономическим показателям состав элементной базы (усилители, регуляторы, преобразователи, двигатели, датчики и т.д.), чтобы она обеспечивала необходимую мощность, скорость, моменты движения, была простой, надежной, удобной в эксплуатации и экономичной.

На этом этапе вопросы динамики удается учитывать лишь в грубом приближении, например - не выбирать элементы заведомо неустойчивые, с большими постоянными времени, резонансные и т.д.

2. Вопросы обеспечения статических характеристик, точности отработки задаваемых команд и высоких технико-экономических показателей являются для технологических процессов и экономики центральными и для решения наиболее трудными. Поэтому, несмотря на то, что без хорошего качества динамических режимов САУ не будет принята в эксплуатацию, синтез ее структуры для обеспечения требуемых режимов проводится на втором этапе, когда функциональная схема, состав элементов и параметры системы предварительно установлены. Совместить сколько-нибудь эффективно оба этапа не удается.

В целом спроектированная на первом этапе САУ обычно представляет собой многоконтурную структуру со сложной передаточной функцией, анализ которой дает неудовлетворительные результаты по качеству переходных процессов. Поэтому ее необходимо упростить до желаемых характеристик и скорректировать.