Рассмотрим основные положения метода перемещений. По существу этот метод является обратным относительно метода сил.

В методе сил за основные неизвестные величины принимают внешние или внутренние силы, приложенные вместо отброшенных лишних связей, тогда как взаимные перемещения сечений, где приложены эти силы, известны. Для определения неизвестных составляются уравнения перемещений. В методе перемещений основными неизвестными являются перемещения (линейные и угловые) узлов статически неопределимой системы, для определения которых составляют уравнения- равновесия. Определив эти перемещения, находят внутренние силовые факторы в произвольных сечениях заданной системы.

Общее число неизвестных при расчете статически неопределимых систем определяется не статической, а кинематической неопределимостью. При этом род степенью кинематической неопределимости понимается число угловых и линейных перемещений системы, знание которых дает возможность определить характер деформации системы, а следовательно, и усилия в ее элементах. Деформированный вид системы будет полностью определен, если будут известны угловые и линейные перемещения узлов системы. Степень кинематической неопределимости системы будет равна числу углов поворота жестких узлов плюс число неизвестных линейных перемещений узлов. Для многих статически неопределимых систем степень кинематической неопределимости ниже их степени статической неопределимости.

В основу метода перемещений положен ряд допущений: не учитывается влияние поперечных и продольных сил на перемещения точек системы; не учитывается сближение узлов системы при деформации ее элементов; концы стержней, сходящихся в одном жестком узле, поворачиваются при деформации на один и тот же угол; углы поворота вследствие их небольшой величины принимаются равными тангенсам этих углов.

При определении степени кинематической неопределимости число неизвестных углов поворота узлов всегда равно числу жестких узлов системы, исключая опорные.

 

Статически неопределимые системы, их особенности.

Статически неопределимая система - геометрически неизменяемая система (конструкций), в которой реакции связей (усилия в опорных закреплениях, стержнях и т.п.) не могут быть определены с помощью одних уравнений статики (а требуется совместное рассмотрение последних с дополнительными уравнениями, характеризующими деформации системы. Особенности статически неопределимых систем:

1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой.

2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.

3. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.

5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.

6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Формула Мора

Универсальный метод определения перемещений (линейных перемещений и углов поворота), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки, имеет особенно большое значение для расчета статически неопределимых систем.

Рис. 5.14

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии на нее действует любое число каких угодно сил и моментов (рис. 5.14, а). Во втором состоянии к системе приложена одна лишь сосредоточенная сила Р₂=1(рис. 5.14, б).

Составим выражение работы А₂₁ силы Р₂=1 на перемещении а₂₁возникающем от сил первого состояния:

Выразим А₂₁ (в случае плоской задачи) через внутренние усилия в стержнях системы [с помощью формул (5.17) и (5.20)]:

Условимся, что черточки над М₂, N_2, Q2,указывают на то, что эти внутренние усилия вызваны действием силы, равной единице.

Таким образом, перемещение от любой нагрузки с помощью формулы (5.22) можно выразить через внутренние усилия, возникающие в заданной системе от этой нагрузки и возникающие в ней от единичной силы. Направление единичной силы совпадает с направлением определяемого перемещения. Если определяется линейное смещение (например, прогиб какой-либо точки оси стержня), то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, приложенную в этой точке; если же определяется угол поворота поперечного сечения в какой-либо точке оси стержня, то единичная сила представляет собой сосредоточенный момент (также безразмерный), приложенный в этой точке.

Состояние сооружения, вызванное действием единичной силы, называется единичным состоянием (или фиктивным). В отличие от него состояние, вызванное действием заданной нагрузки, называется действительным (или грузовым).

Иногда цифровые индексы 1 и 2 в формуле (5.22) заменяются буквенными, например m и n, тогда эта формула принимает вид

где а_mn— перемещение по направлению «силы» P=1 вызванное действием нагрузки n(группы «сил»n).

При размерах поперечных сечений каждого стержня системы, постоянных по длине этого стержня, выражение (5.23) принимает вид

Каждое из равенств (5.22) — (5.24) носит название формулы перемещений (интеграла, или формулы, Мора).

 

 

Сущность метода сил

метод сил заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы.

Алгоритм расчета методом сил:

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.

2. Выбрать основную систему.

3. Сформировать эквивалентную систему.

4. Записать систему канонических уравнений.

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7. Построить суммарную единичную эпюру.

8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

9. Решить систему канонических уравнений, т.е. определить реакции лишних связей.

10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).

11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.

Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.

Основные этапы раскрытия статически неопределимых систем по методу сил:

1.Определить степень статически неопределимой системы, то есть число лишних неизвестных.

2.Удаляем лишние связи и заменяем т.о. исходную статическую неопределимую систему на определимую (освобождённая от лишних связей называется основная). Нужно следить за тем,чтобы основная система оставалась геометрически неизменяемой т.е её элементы после удаления лишних связей не должны иметь возможности свободно перемещаться в пространстве.

3.Составляем уравнения для деформаций в точках приложения лишних неизвестных т.к в исходной системе эти деформации равны 0, то и указанные уравнения необходимо также приравнять к 0, затем из полученных уравнений находим величину лишних неизвестных.