Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

 

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

Циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой . Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак, положительный при совпадении вектора с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

Свойства ротора:

1) , если постоянный вектор;

2) , ;

3)

4)

Формулу Стокса можно записать в векторной форме:

Эта формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченного контуром . Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Оператор Гамильтона служит для удобства записи основных операций над скалярным () или векторным () полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Кризис течения в сжимаемых жидкостях. Запирание по расходу.

Кризис течения – третье общее свойство сплошных сред, наряду с продольным расширением и поперечным сжатием частиц среды при ускорении. При кризисе течения межмолекулярные силы не способны удержать среду от резкого расширения.

В капельных жидкостях кризис течения приводит к кавитации, а в газах разрушение межмолекулярных связей приводит не только к еще б о льшему продольному расширению, но и к поперечному. Поэтому сверхкритическое ускорение газов требует расширяющегося канала.

Статическое давление, при котором возникает кризис течения, зависит от рода газа, определяемого показателем адиабаты:

При достижении этого давление расстояние между молекулами становится критическим, а скорость становится равной местной скорости звука в данном сечении. При дальнейшем ускорении межмолекулярные силы начинают убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Запирание канала по расходу – достижение предельного значения расхода для данного канала. При постоянном давлении перед сечением, попытка увеличить расход путем уменьшения давления за сечением приводит к увеличению интенсивности кавитации в капельных жидкостях. Для газов см. вопрос 28.

 

Работа, тепло и ускорение, вызванные силами вязкости. Примеры проявления составляющих вязкости, вихревой эффект.

Вязкость – свойство сплошных сред оказывать сопротивление сдвигу двух слоев среды относительно друг друга. Сдвиг сопровождается только изменением формы, но не объема.

Секундная работа сил вязкости, совершаемая массой газа внутри объема равна сумме произведений нормальных и касательных компонент вязкостных сил на скорость, в направлении которой действует та или иная компонента:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, окончательно работа вязкостных сил равна:

Для всех координатных осей:

Частные решения уравнения Навье-Стокса для ламинарного режима: течение Паузейля-Гагена, закон неквадратичного трения и коэффициент гидравлического трения для ламинарного режима течения. Участок гидродинамической стабилизации (начальный и разгонный). Коэффициент Кориолиса.

Уравнение Навье-Стокса в общем виде: показывает, что вектор полного ускорения жидкой частицы равен векторной сумме ускорений, вызванных отдельными силами так, как будто бы каждая из этих сил действует на частицу в отдельности:

37. Уравнение количеств движения (первое уравнение Эйлера) в общем виде. Тензор импульса и его компоненты. Неконсервативная форма для расчета силового взаимодействия потока и обтекаемых тел.

Используется для расчета взаимодействия потока с обтекаемым телом. Выделим экспериментальную струйку тока: для неизменной массы: , если масса меняется: . Прирост количества движения должен быть равен разности количеств движения для масс 2-2’ и 1-1’, которые в установившемся течении одинаковы.

элементарная масса, секундное количество движения.

После подстановки и интегрирования: уравнение Эйлера, силовая форма записи уравнения движения, сила реакции жидкости на обтекаемое тело.

Равнодействующая внешних сил, действующих в данный момент на жидкость равна изменению во времени суммарного количества движения и разности потоков количества движения жидкости на входе и выходе.

Кинематика движения жидкой частицы. Виды движения. Вихревое и потенциальное движение, условия незавихренности, потенциал скорости. Основные понятия. Уравнения, описывающие вихревое течение.

Потенциальное течение – движение, при котором отсутствует движение частиц среды относительно собственных осей ().

Вихревое течение – если ротор скорости или циркуляция скорости по любому замкнутому контуру отлична от нуля, то частицы вращаются вокруг собственных осей.

Потенциал скорости – функция, частные производные которой соответствуют компонентам скорости: и т.д.

Ротор вектора скорости и его физический смысл в вихревом сечении, теорема Стокса. Правила действий с оператором Гамильтона.

 

Ротор представляет собой угловую скорость вращения твердого тела с точностью до числового множителя. Направление ротора – направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между производной по направлению и градиентом.

Циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой . Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция не равна нулю, так как в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак, положительный при совпадении вектора с направлением обхода векторной линии и отрицательной в обратном случае.

Свойства ротора:

1) , если постоянный вектор;

2) , ;

3)

4)

Формулу Стокса можно записать в векторной форме:

Эта формула показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченного контуром . Используя формулу Стокса, можно дать другое определение ротора вектора – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки , перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Это векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Оператор Гамильтона служит для удобства записи основных операций над скалярным () или векторным () полем – , , (векторные дифференциальные операции первого порядка). Он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Символическое умножение вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символов на величины как взятие соответствующей частной производной от этих величин.