Вычисление интегралов в комплексной области

       Пусть , тогда при  и

 получим

Из полученного соотношения получим вычисление интеграла функции

       Если  – рациональная функция непрерывная на Ox и , тогда справедливо следующее соотношение для вычисления несобственного интеграла

Если  или , где , тогда справедливо следующее соотношение

 – аналитична в , тогда вычисление несобственного интеграла примет вид

 

Преобразования Лапласа

       Преобразования Лапласа – один из видов интегрального преобразования вида

Где  – ядро преобразования;  – функция оригинала;  – комплексная переменная;  – изображение функции

Функция оригинал  должна быть непрерывна за исключением конечного числа точек разрыва первого рода,  должна возрастать быстрее показательной функции и  при . Существует точка M и , такие что , где  – показатель роста функции .

       Для всякого оригинала  изображение  определено в полуплоскости

, где  – показатель роста функции , и является в этой полуплоскости аналитической функцией

Исходя из этого утверждения следует, что

Из полученного соотношения следует справедливость следующего соотношения

       Примеры изображений для некоторых простейших функций

1. Единичная функция Хэвисайда

2. Линейная функция

3. Степенная функция

4. Экспоненциальная функция, где, а – любое комплексное число

Теорема линейности: Если , а , тогда справедливо следующее

5. Тригонометрические функции

6. Гиперболические функции

Теорема подобия: Если , тогда , где .

7. Тригонометрические функции с увеличением углов

8. Гиперболические функции с увеличением углов

Терема дифференцирования оригинала: Если оригиналу , тогда справедливо следующее  при условии, что  – оригинал. При непрерывности оригинала в точке , тогда соотношение преобразуется следующим образом

. Дифференцировать можно множество раз, тогда получим следующие соотношения

Теорема интегрирования оригинала: Если , тогда справедливо следующее соотношение

Теорема запаздывания: Если , тогда .

Теорема смещения: Если , тогда , где .

Теорема дифференцирования изображения: Если , тогда

При производной n-го порядка получим

Теорема интегрирования изображения: Если , тогда

Теорема умножения: Если , тогда  – свертка функций

Теорема – интеграл Дюамеля: Если  при , тогда справедливо соотношение

Теорема обращения: Преобразование вида  – прямое преобразование Лапласа, тогда соотношение следующего вида называется теоремой обращения

Данное соотношение справедливо для всех t, где  – непрерывна и .

Следствие теоремы обращения – Правило Хэвисайда: Исходя из теоремы обращения справедливо следующее высказывание, устанавливающее связь оригинала и изображения