Непрерывность функции в точке

       Функция  называется непрерывной в точке , если существует конечный предел равный значению этой функции в этой точке

Если нарушено требование непрерывности, тогда функция имеет разрыв. Разрывы могут быть двух видов: разрывы с различным левым и правым пределом и разрывы, предел в которых равен бесконечности.

       Если  определена в проколотой окрестности точки , но не определена в самой точке  или  определена в окрестности , но не является непрерывной в точке , тогда точка  называется точкой разрыва функции .

       Пусть  – точка разрыва для , тогда если существуют конечные левый и правый пределы данной функции, тогда такой разрыв – разрыв первого рода. Пример разрыва первого рода представлен на рисунке 40.

Рисунок 40. Разрыв первого рода.

Если не выполняется условие разрыва первого рода, тогда такой разрыв – разрыв второго рода. Пример разрыва второго рода представлен на рисунке 41.

Рисунок 41. Разрыв второго рода.

Все элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Теорема: Если  и  непрерывны в точке , тогда их сумма, разность, произведение и отношение также непрерывны в этой точке. Композиция непрерывных функций также непрерывна.

 

Непрерывность функции на отрезке

       Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

       Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого интервала  и на концах этого отрезка, то есть существуют конечные левые и правые пределы на соответствующих концах отрезка.

       Свойства функция непрерывных на отрезке:

1. Если функция  непрерывна на отрезке , тогда она ограничена. Непрерывность на интервале не гарантирует ограниченности;

2. Если функция  непрерывна на отрезке , тогда она достигает своего наибольшего M и наименьшего значения m. Иными словами, можно указать точки ; Непрерывность на интервале не гарантирует ни наличие M и m, ни их достижения.

3. Если  непрерывна на отрезке  и m и M – неменьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке, тогда любое промежуточное значение  обязательно принимает в некоторой точке . Если непрерывности на отрезке нет, тогда некоторые промежуточные значения могут не приниматься такой функцией;

4. Если  непрерывна на отрезке  и значения на концах  и  имеют разные знаки, тогда существует точка .

 

 

Сравнение БМФ и ББФ

Пусть  и  – БМФ при  или , тогда при  функция  – БМФ более высокого порядка, чем

       Если , тогда  и  – БМФ одного порядка малости

Частный случай при , тогда  и  называют эквивалентными при

Теорема: В случае неопределенности   весь числитель и весь знаменатель можно заменить на эквивалентные функции

Если числитель и знаменатель представлены произведением функций, тогда множитель также можно заменить на эквивалентный. Нельзя менять на эквивалентные в случае суммы.

       Пусть  при , тогда справедливы следующие соотношения

       Аналогично анализируются ББФ, для которых также справедливы указанные соотношения.

 

Производная

       Пусть задана непрерывная в точке  функция . Рассмотрим приращение аргумента , тогда получим приращение функции в точке . Приращение аргумента может быть как больше нуля, так и меньше, что задает правое и левое движение по указанной функции. В связи с этим приращение функции также может быть больше или меньше нуля.

       Знаки приращения функции и приращения аргумента будут совпадать для возрастающих функций или будут противоположными при убывающих функций.

       Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  называется производной функции

Производная в некоторой точке  – число. Если рассматривать производную в произвольной точке, тогда  – функция.

       Производные некоторых элементарных функций

,            ,    

,       

, ,   

В физическом смысле производная позволяет найти мгновенную скорость тела в заданный момент времени используя функцию расстояния.

Пусть найдена производная некоторой функции и равна , поскольку это также функция, тогда для нее тоже можно искать производную. Производная любого порядка примет вид