Касательная к графику функции

       Пусть дана некоторая кривая и фиксированная точка  на ней. Выберем произвольную точку  на этой же кривой и проведем секущую. Пусть  движется по кривой к , тогда секущая  меняет свое положение. Если в момент слияния  секущая занимает однозначное положение, тогда это предельное положение секущей, которая называется касательной. Все вышеуказанные построения представлены на рисунке 42.

Рисунок 42. Построение касательной к графику функции.

       Касательная существует не всегда. Например, на рисунке 43 показано, что у некоторого графика функции при выборе точки, предельное положение секущей различны.

Рисунок 43. Пример функции, когда касательная не существует в точке F.

       Рассмотрим график функции , на котором зафиксирована точка  на графике и выбрана произвольная , как указано на рисунке 42. Обозначим  – угол наклона секущей;  – угол наклона касательной

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функций в этой точке – геометрический смысл производной.

       Уравнение касательной примет вид , поскольку касательная проходит через точку , где , тогда уравнение касательной примет вид

       Нормалью к графику функции в точке  называется прямая перпендикулярная касательной, построенной в этой же точке. Пример нормали к графику функции представлен на рисунке 44.

Рисунок 44. Нормаль относительно касательной к графику функции.

Уравнение нормали, учитывая ее расположение относительно касательной, примет вид

 

Дифференциал

       Пусть функция  имеет в точке  производную, тогда приращение дифференцируемой функции примет вид

Приращение дифференцируемой функции состоит из двух частей:  – пропорциональна приращению аргумента и  – малая по сравнению с приращением аргумента – первая главная линейная часть приращения.

       Главная линейная часть приращения называется дифференциалом

Геометрический смысл дифференциала – приращение касательной к функции. Обозначение производной функции – отношение дифференциалов функции и переменной

При фиксированной точке  дифференциал зависит только от приращения аргумента , изменение которого меняет дифференциал.

       Правила дифференцирования

Теорема Лопиталя: Пусть  и  непрерывные и дифференцируемые функции в окрестности точки , причем , тогда

 может быть конечным чистом и может быть бесконечностью и данное соотношение справедливо для неопределенностей  и .