Замена переменной в определенном интеграле

       Пусть  непрерывная функция,  – непрерывно-дифференцируемая функция, тогда справедливо соотношение, которое можно получить формальной заменой  на

Замена переменной чаще производится справа на лево следующим образом

 – вынесение из дифференциала;

 – поднесение под дифференциал;

       Интегралы вида  можно вычислять двумя способами

В данном случае происходят следующие замены: , из которых вытекает соотношение: .

       Второй способ подразумевает использование соотношения .

Интегрирование по частям

       Пусть  и  – непрерывно-дифференцируемые функции, тогда справедливо следующие соотношение

Данное соотношение можно упростить, если произвести две замены следующего вида  и , тогда получим

       Основные виды интегралов, берущихся по частям имеют вид

В данных соотношениях P(x) и Q(x) - некоторые многочлены.

 

Рациональные функции

       Функция, представленная как отношение двух многочленов называется рациональной функцией R(x)

Рациональная функция называется правильной, если  или неправильной, если .

       Любую неправильную рациональную дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби. Такой прием можно использовать при интегрировании рациональных функций.

       Элементарные рациональные дроби – правильные рациональные функции следующих четырех типов

Интегрирование элементарных дробей первых трех типов соответственно имеет вид

Теорема: Любой многочлен можно представить как произведение скобок вида  и .

       Любую правильную рациональную дробь можно разложить в в сумму элементарных дробей по следующему алгоритму

1. Готовим знаменатель по указанной выше теореме;

2. Каждой скобке знаменатель ставим в соответствие в группу элементарных по следующим правилам

Коэффициенты A и B находятся методом неопределенных значений или методом произвольных значений. Метод неопределенных значений подразумевает приравнивание числительных при одинаковых знаменателях, после чего производится подбор коэффициентов. Метод произвольных значений подразумевает подстановку x в обе части получаемого уравнения и подбор коэффициентов.

 

Определенный интеграл

       Назовем определенным интегралом на отрезке  от функции  число равное приращению первообразной на этом отрезке

Данное соотношение – формула Ньютона-Лейбница. Функция должна быть непрерывна.

       Если  на отрезке , тогда определенный интеграл этой функции равен площади криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком  – геометрический смысл определенного интеграла, пример приведен на рисунке 49.

Рисунок 49. Геометрический смысл определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

5. .

Пусть  непрерывна на  a  непрерывно-дифференцируемая на , причем значения  на этом отрезке не выходят за пределы  и , тогда

Данное соотношение определяет способ замены переменной в определенном интеграле.

       Пусть  и  непрерывно-дифференцируемые функции, тогда

Данное соотношение определяет интегрирование по частям для определенного интеграла.

       Определенный интеграл имеет следующие приложения

1. Определение площади криволинейной трапеции

Если , тогда . В случае знакопременности функции  на отрезке , тогда  – алгебраическая сумма площадей криволинейных трапеций, разделенных нулями, заданными функции (пример указан на рисунке 50).

 

Рисунок 50. Знакопеременная функция сигнала.

2. Вычисление длины кривой

Пусть  непрерывно-дифференцируемая функция, тогда длина графика l на отрезке  равна соотношению

3. Вычисление объемов тел вращения

Пусть  непрерывна на отрезке . При вращении криволинейной трапеции относительно оси Ox охватывается некоторая область пространства, которая называется телом вращения. Аналогично, если  монотонная функция, тогда можно рассмотреть тело вращения относительно оси Oy. Объемы тел вращения могут быть найдены по следующим формулам