Аналитическая и алгебраическая теории чисел

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа (как вещественного, так и комплексного), иногда также теория дифференциальных уравнений. Это позволило значительно расширить тематику исследований теории чисел. В частности, в неё вошли следующие новые разделы:

1. Распределение простых чисел в натуральном ряду и в других последовательностях (например, среди значений заданного многочлена).

2. Представление натуральных чисел в виде сумм слагаемых определённого вида (простых чисел, квадратов и т. д.).

3. Диофантовы приближения.

Первым шагом в применении аналитических методов в теории чисел стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

       В алгебраической теории чисел понятие целого числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. Была разработана общая теория алгебраических и трансцендентных чисел. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел, в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений, и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими.

       Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или не архимедовой (например, в поле p-адических чисел).

 

Математический анализ

Числовые последовательности

       Числовой последовательностью называется бесконечное число занумерованных чисел  или . Задать последовательность можно формулой для , например,  и на числовой оси (рисунок 30).

 

Рисунок 30. Отображение чисел на числовой прямой.

       Помимо вышеуказанных способов, числа можно задать на координатной плоскости, рассмотрев график функции натуральной переменой .

       Последовательность  называется ограниченной, если можно указать  и , такие что  для всех элементов последовательности

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все элементы находятся на отрезке  (на рисунке 30 последовательность ограничена отрезком ). В случае рассмотрения последовательности на координатной плоскости, тогда все точки графика находятся внутри полосы, ограниченной  и .

       Последовательность  называется монотонной, если выполняется одно из условий:

1.  (строго возрастает);

2.  (не убывает);

3.  (строго убывает);

4.  (не возрастает).

Число A называется пределом последовательности , если для любой  – окрестности точки A (даже для сколь угодно малой) можно указать номер N, который зависит от , начиная с которого все члены последовательности будут находится внутри этой окрестности

У последовательности не может быть более одного предела.

       Свойства конечных пределов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если , тогда .