Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член ряда а _n стремится к нулю (т.е. ). Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд  является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Следствие. Если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Найдем  - необходимый признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

 

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами  

,             (1)

,             (2)

Если для любого п, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит суммы ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , а ряд  сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.

 

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости.

 

Признак Даламбера

Пусть дан ряд  с положительным членами. Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. . Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. . Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

 

Признак Коши (радикальный признак)

 

Пусть дан ряд  с неотрицательными членами. Если существует предел , то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, при q=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 6. Определить сходимость ряда .

Решение. , следовательно, ряд сходится.

Пример 7. Определить сходимость ряда .

Решение.  Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Найдем .

Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

 

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд   с положительными членами, причем    и f(x) – такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f(п)=а_п. тогда данный ряд и несобственный интеграл  одновременно сходятся или расходятся.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд  сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл  сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд  называется обобщенным гармоническим рядом.

 

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

 

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося ряда  выполняются условия:  и , то ряд сходится.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд     (1) и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):   (2). Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).