Вычисление объема тела вращения

 

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f (x). Предположим, что функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси О х, то получим так называемое тело вращения,  объем которого может быть легко найден по формуле:

       Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , осью ординат и двумя прямыми у = с, у = d, находится по формуле:

 

Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, одной полуволной синусоиды y = sin x и прямыми х = 0, х = π.

 

Решение. Применяя  первую формулу для вычисления объема, получим:

Пример 3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: , у = 1, у = 4.

 

Решение. Применим вторую формулу для вычисления объема.

 

 

Приложения определенного интеграла к решению физических задач

 

Схема применения определенного интеграла для вычисления некоторой величины u такова. Сначала нужно выразить некоторую переменную часть величины u в виде функции u (x) одного из ее параметров, который изменяется в известном из условия задачи интервале . Затем следует рассмотреть приращение ∆ u величины u (x), отвечающее изменению х на малую величину ∆х, и постараться найти для ∆ u приближенное выражение вида f (x) ∆х так, чтобы оно отличалось от ∆ u лишь на бесконечно малую величину. При этом следует пользоваться всеми возможными допущениями, которые в итоге сводятся к отбрасыванию бесконечно малых величин. Искомая величина u определяется интегрированием.

Задача о нахождении пути, пройденного точкой

       Если υ = f (t) – скорость прямолинейно движущейся точки в момент времени t, то перемещение точки за промежуток времени [ a; b ] равно:

 

       Пример 4. Скорость движения тела в момент времени t задается формулой υ = 15 – 3 t, где υ – скорость, м/с; t – время, с. Какой путь пройдет тело от начала отсчета времени до остановки?

 

       Решение. Так как в момент остановки тела скорость его равна 0, то нужно определить путь, пройденный телом от момента времени t ₁ = 0 до t ₂ = 5 с. Подставив в формулу, получим м.

 

Задача о нахождении работы переменной силы

       Если переменная сила F (x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке [ a; b ] равна

       Пример 5. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 м?

           

       Решение. Согласно закону Гука сила F, растягивающая пружину на х, равна F (x) = kx, где k – коэффициент пропорциональности. Полагая х = 0,01м и F (x) = 1 H, получим k = 100 и, следовательно, F (x) = 100 х. Подставим значения в формулу и найдем искомую работу:

Дж.

 

 

Практическое занятие №22

Наименование занятия: Нахождение области определения и вычисление пределов

                                 для функций нескольких переменных

Цель занятия: Научиться находить области определения и вычислять пределы для функций нескольких переменных. Формировать ОК-2, ОК-4, ОК-5.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Функции нескольких переменных».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Вычислить пределы функций

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

 

1. Найти области определения функций и построить их на плоскости

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется функцией двух переменных?
2. Дать определение предела функции двух переменных. Как вычислить предел функции двух переменных?
3. Что является областью определения функции двух переменных?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ