Понятие функции нескольких переменных

 

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных

z = f(x, y)

Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие , также верно и условие .

Записывают:

 

Пример 1. Вычислить предел

Решение. Воспользуемся повторным пределом функции двух переменных. Получим:

           

Пример 2. Найти область определения функции и изобразить ее на плоскости.

Решение. Данная функция имеет действительные значения, если . Этому неравенству удовлетворяют все точки I и IV четверти. Область существования функции выглядит следующим образом:

                        

Пример 3. Найти область существования функции

Решение. Функция имеет действительные значения, если  или . Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область существования функции есть внутренность этого круга.

 

 

Практическое занятие №23

Наименование занятия: Вычисление частных производных и диффе­ренциалов

                                 функций нескольких переменных

Цель занятия: Научиться находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Формировать ОК-2, ОК-4, ОК-5.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Найти частные производные от функций

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5

1. Найти полные дифференциалы функций

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4

 

1. Доказать равенства

 

Вариант 1	,     если
Вариант 2	, если
Вариант 3	, если
Вариант 4	, если
Вариант 5	, если

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется частными производными от функции двух переменных?
2. Как вычислить полный дифференциал функции двух переменных?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ