Вычисление двойного интеграла

Случай прямоугольной области

Двойной интеграл по прямоугольной области вычисляется по формулам:

             (1)

             (2)

           

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем . Вычислим внутренний интеграл, считая переменную х постоянным числом:

.

Затем вычисляем внешний интеграл по переменной х:

.

Таким образом,

 

 

Случай криволинейной области

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области G, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и j £ y, тогда

             (3)

 

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области G, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

                                   (4)

                                                     

Пример 2. Вычислить интеграл , если область G ограничена линиями:         y = 0, y = x ², x = 2.

Решение. Построим область G и вычислим интеграл по формуле (3)

 

                                          y

                                             4

 

                                                      G

 

                                         0       2                x   

 

 

 =

 

Пример 3. Вычислить интеграл , если область G ограничена линиями

y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Решение. Построим область G и вычислим интеграл по формуле (4)

 

                                               y

                                                           y = x

                                             2

                                                      G

                                             1

 

                                             0                                x

 

 

Практическое занятие №25

Наименование занятия: Приложения двойных интегралов

Цель занятия: Научиться применять двойные интегралы к вычислению площадей фигур. Формировать ОК-2, ОК-5.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

Используя двойной интеграл, вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

 

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1	ху = 4, у =2, х = 1	у = х ^2, 4 у = х ^2, у = 4	y = x ^2 – 2 x, y = x	ху = 4, у = х, х = 4	у ^2 = 4 + х, х + 3 у = 0
2	, ,   у = 3, у = 4	, , у = 2, у = 7	, , у = 1, у = 6	, , у = 2,   у = 5	, , у = 3, у = 8
3	х = 8 – у ^2, х = –2 у	у = 11 – х ^2, у = –10 х	х = 5 – у ^2, х = –4 у	у = 20 – х ^2, у = –8 х	у = 32 – х ^2, у = –4 х
4	, ,   х = 9	, , х = 4	, , х = 16	, , х = 16	, , х = 9

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Геометрические приложения двойных интегралов

Вычисление площадей в декартовых координатах

 

                                            y

                                                                             y = j(x)

                                                                  S

                                                                            

y = f(x)

                                                         a              b                    x

 

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

 

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y ² = 4 x + 4; x + y – 2 = 0.

 

 

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от  до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

 

S =

 

Практическое занятие №26

Наименование занятия:   Решение дифференциальных уравнений