Вычислить определенные интегралы

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5
6
7
8

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. В чем суть метода замены переменной в определенном интеграле, чем он отличается от замены переменной в неопределенном интеграле?
2. Что называется определенным интегралом?
3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
4. По какой формуле вычисляется определенный интеграл?
5. Перечислите методы вычисления определенных интегралов.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Приращение F (b) – F (a) любых из первообразных функций F (x) + С при изменении аргумента от х=а до х= b называется определенным интегралом от функции f.

Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница: 

 = F (b) – F (a)

Свойства определенного интеграла

1) При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

               = -

2) Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

                             = 0

3) Отрезок интегрирования можно разбить на части:

                             = +

4) Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов

5) Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

 

Пример 1. Вычислить определенный интеграл  

Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница и свойства определенного интеграла, получим:

= =  -  = 19,5

 

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть задан интеграл , где f (x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j (t). Тогда если

1) j (a) = а, j (b) = b

2) j (t) и j ¢(t) непрерывны на отрезке [ a, b ]

3) f (j (t)) определена на отрезке [ a, b ], то

Пример 2.

Решение. Выполним замену (аналогично замене переменной в неопределенном интеграле): ; ; .

Введем новые переменные интегрирования. Полагая х = 0 и х = 4, подставим их в замену и получим t = 9  и t = 25. Следовательно, 

Интегрирование по частям в определенном интеграле

 

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [ a, b ], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Выбор u и dv осуществляется также как и в неопределенном интеграле.

Пример 3.

Решение. Выполним замену. Положим , ; тогда , . Подставив в формулу интегрирования по частям, получим

.

 

 

Практическое занятие №21

Наименование занятия:    Решение прикладных задач с помощью

                                          определенного интеграла

Цель занятия: Научиться вычислять определенные интегралы, находить площади фигур, ограниченных линиями. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04)

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

 

2. Скорость движения точки меняется по закону v = 4 t – t ², где v – скорость, м/с; t – время, с. Вычислить: путь, пройденный точкой за третью секунду движения; перемещение точки за первые 6 секунд движения.  

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x ² – 8 x + 16; y = 6 – x

2)  х = -3, х = – 1, осью абсцисс

3) у = х ² – 2 (х ≥0), у = – 1, у = 7, х = 0

 

4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу кубической параболы  в пределах от у = 1 до у = 8

 

ВАРИАНТ 2

1. Вычислить работу, совершенную при растяжении пружины на 6 см, если длясжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н.

 

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 6 t ²– 4 t – 10, см/с. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения; путь, пройденный точкой за четвертую секунду движения.

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x ² – 6 x + 9; 3 x – y – 9 = 0

2) ,

3) , у = 1, у = 0, х = 0

4. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми , х = 4, х = 6 и осью абсцисс

 

ВАРИАНТ 3

1. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,05 м, если для ее сжатия на 0,02 м нужна сила в 10 Н.

 

2.  Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = 3 t ² – 2 t – 1, м/c. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 3 секунды после начала движения; путь, пройденный точкой за третью секунду движения.

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = – x ² + 6 х – 5, y = 0;

2) y ² = x, y = x ²

3) у = 16х ³, у = 2, осью ординат

4. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу трапеции, образованной прямыми у = 3 х, у = 2, у = 4 и осью ординат

 

ВАРИАНТ 4

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 6 см, если для растяжения ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

 

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v =24 t – 6 t ²¸ м/с. Вычислить: путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки; путь, пройденный точкой за вторую секунду движения.

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) у = х ² + 1, у = 2 х + 9, х = 0, у = 0

2) , , х = 1

3) x + 2 y - 8 = 0, у = 1, у = 3

4. Криволинейная трапеция, ограниченная гиперболой  и прямыми х = 3, х = 12 вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

 

ВАРИАНТ 5

1. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 м.

 

2. Скорость движения точки меняется по закону v = 4 t – t ², где v – скорость, м/с; t – время, с. Вычислить: путь, пройденный точкой за первые 3 секунды движения; путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

  

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x ² – 2 x + 3, y = x +3

2) у ³ = х, у = 1, х = 8

3) , у = 1, у = 4, осью ординат

4. Найти объем тела, полученного от вращения кривой  вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе;
2. Выполнить задания;
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как найти площадь криволинейной трапеции? Может ли она получиться отрицательной, равной нулю и почему?
2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
3. В чем заключается физический смысл определенного интеграла?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ