Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие неопределенного интеграла
Функция F (x) называется первообразной от функции f (x) на отрезке [ a; b ], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F ′(x) = f (x). Если функция F (x) является первообразной для функции f (x), то выражение F (x) + C называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается: ∫ f (x) dx. Свойства неопределенного интеграла: 1) (ò f (x) dx)′ = f (x) 2) ò a∙f(x)dx=a∙ ò f(x)dx (a=const) 3) ò (f(x) ±g(x))dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx.
Таблица основных интегралов
1. , (n ≠ -1) 2. 3. 4. 5. 6. tg x + C 7. -ctg x+ C 8. 9. 10. 11. 12. arctg x +C 13. arctg 14. 15. arcsin x + C 16. arcsin 17. 18. 19. Табличные значения производных основных функций 1. (un)' = n × un - 1 × u ' (n Î R) 2. (au)' = au × lna × u' 3. (eu)' = eu × u' 4.(log a u)' = × u' 5. (ln u)' = × u ' 6. (sin u)' = cos u × u' 7. (cos u)' = - sin u × u' 8. (tg u)' = × u' 9. (ctg u)' = - × u' 10. (arcsin u)' = × u' 11. (arccos u)' = - × u' 12. (arctg u)' = × u' 13. (arcctg u)' = - × u' Методы интегрирования Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы. Пример 1. Решение. Для вычисления интеграла сначала воспользовались 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применили 4, 1 и 10 табличные интегралы. Пример 2. . Пример 3. . Метод замены переменной (метод подстановки)
Этот метод является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.
Пример 4. Вычислить: ∫ (2 x +3)5 dx Решение. Введем новую переменную t = 2 x + 3, тогда dt = t ′ ∙ dx = (2 x +3)′ ∙ dx = 2 dx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 2 x + 3 подставим t, вместо dx подставим ): ∫(2 x +3)5 dx = ∫ t 5 ∙ = ∙∫ t 5 dt = = . Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение (2 x +3) и получим окончательный ответ: ∫(2 x +3)5 dx = = (2 x +3)6 + С.
Пример 5. Вычислить:
Решение. Введем новую переменную t = 5+ ex, dt = (5+ ex)′∙ dx = ex ∙ dx, dx = . Подставим новую переменную в интеграл: = = = = = -
Интегрирование по частям
Этот метод применяется, когда подынтегральная функция имеет вид: , где - это многочлен степени п, а является показательной, тригонометрической, обратной тригонометрической или логарифмической функцией. Формула метода:
, где u и dv выбираются в соответствии с правилами:
1. Если - показательная или тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , ), то для того чтобы найти эти интегралы, нужно сделать замену и применить формулу интегрирования по частям. 2. Если - логарифмическая или обратная тригонометрическая функция (т.е. имеем интегралы вида , , , , ) то для того, чтобы найти эти интегралы нужно сделать замену: , . 3. Интегралы вида , (a, b — числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.
Пример 6. Вычислить . Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Положим , ; тогда , . Подставим в формулу интегрирования по частям: . Пример 7. Вычислить Решение. Данный интеграл относится ко 2 типу. Выполним замену: , , , =
Пример 8. Вычислить Решение. Данный интеграл относится к 1 типу. Выполним замену: , , , = (Получили интеграл, который решается интегрированием по частям. Выполним замену еще раз: , , , и подставим ее в интеграл) . Пример 9. Вычислить
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Практическое занятие №18 Наименование занятия: Интегрирование рациональных функций Цель занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы от рациональных функций. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-4, ОК-5, ОК-6, ОК-7, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.1, ПК-1.2 (спец. 09.02.04) Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной» Литература:
Задание на занятие:
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-11; просмотров: 69; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.17.230 (0.017 с.) |