Элементарная работа системы сил контактного взаимодействия твердого тела со связями.

Положение твердого тела определяется вектором положения полюса  и собственной ортогональной матрицей  ориентации подвижного базиса по отношению к неподвижному базису. Положение любой точки  в теле по отношению к центру масс задается в неподвижном пространстве вектором . Тогда положение точки  тела в неподвижной системе координат задается вектором :

Элементарное перемещение тела  определяется изменением положений всех его точек  векторами:

Выберем в качестве полюса центр масс тела С.

Элементарная работа всех дискретных сил взаимодействия  твердого тела, любая точка на линиях действия которых определяются векторами , а их элементарные перемещения - векторами   ,  равна:

Здесь  есть главный вектор всех действующих на тело сил, а  есть главный момент этих сил относительно центра масс.

Если на векторы элементарного перемещения  и  элементарного поворота тела  наложены связи, то число независимых элементарных перемещений меньше шести. В этом случае элементарную работу можно выразить через независимые элементарные перемещения .

Силовое поле. Если в евклидовом пространстве R³ для каждого положения твердого тела задано поле потенциальной силы, зависящее от параметров, задающих положение точек тела, то говорят, что в пространстве (в теле) задано силовое поле.

Элементарная работа силового поля силы тяжести твердого тела.

Рассматриваем поле параллельных постоянных сил  в каждой точке тела. Элементарную работу поля ищем на элементарном перемещении  

 

Последнее слагаемое равно нулю по определению центра масс тела.

Таким образом, искомая работа поля силы тяжести не зависит от поворота тела и определяется только перемещением центра масс.

Работа и мощность системы сил твердого тела на действительном перемещении тела.

В действительном движении твердого тела поле скоростей в теле задается формулой

а поле элементарных перемещений имеет вид

Тогда элементарная работа системы сил тела вычисляется по формуле

а мощность этих сил - по формуле

 

Аксиомы реакций связей.

1. Гладкая плоскость, поверхность, гладкая опора. Рисунок 1.

Силы реакций перпендикулярны (направлены по нормали) к плоскостям (поверхностям).

 

2. Невесомая нерастяжимая нить. Рисунок 2. Сила реакции нити  направлена вдоль нити от тела.

 

3. Поступательное (без вращения) скольжение тела по гладкой (без трения) поверхности (плоскости).

При этом сила трения в покое тела не превосходит своего максимального значения (при движении) : .

Нормальная часть реакции поверхности  перпендикулярна к поверхности. Коэффициент трения скольжения  не имеет азмерности.

4. Цилиндрический шарнир, соединяющий тело с неподвижной опорой. Рисунок 4.

Тело, соединенное шарниром с неподвижной опорой, может поворачиваться вокруг оси шарнира  При отсутствии трения и скольжения тела вдоль оси, а также при плоской нагрузке на тело сила реакции оси шарнира имеет неизвестную величину и неизвестное направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира:    

Цилиндрический (подвижный) шарнир может связывать два подвижных тела. Аксиома реакции связи при этом не изменяется.

5. Сферический шарнир. Рисунок 5.

Реакция опоры шарнира на тело, соединенное с шаровой частью шарнира, при произвольной нагрузке на тело может иметь любое направление в пространстве. Поэтому

6. Подпятник и подшипник. Рисунок 6.

Сила реакции подпятника  может иметь произвольное направление. Реакция подшипника  перпендикулярна к оси :

7. Качение цилиндра (без скольжения). Рисунок 7. Касание цилиндра с плоскостью происходит в одной точке. Сила трения не связана с нормальной реакцией и зависит от движения тела.

8. Качение цилиндра (без скольжения) при наличии момента сопротивления качению. Рисунок 8. Касание цилиндра с плоскостью происходит не в одной точке. Главный вектор сил реакций   и главный момент сил реакций  относительно точки  равен

Коэффициент сопротивления качению  имеет размерность длины (метр).

9. Реакция балки, заделанной в стену. Рисунок 9. При нагрузке на балку в плоскости  реакция стены определяется главным вектором заделки  и главным моментом заделки : 

Цилиндрический шарнир на подвижной опоре (в точке ) имеет силу реакции, перпендикулярную к поверхности:

.

      

Дифференциальный принцип механики.

Рассматривается система N абсолютно твердых тел, на положения и, как следствие, на движение тел наложены геометрические (кинематические) ограничения (связи). Тела системы взаимодействуют между собой и с другими телами механической системы, не включенными  в систему  тел.

Понятия и определения.

Уравнения связей системы тел. Положение системы по отношению к инерциальной системе отсчета определяют 6 N скалярных параметров  (координаты, углы), . Положение  системы совместимо со связями, то есть    удовлетворяет геометрическим уравнениям связей

а движение   удовлетворяет еще и кинематическим уравнениям связей, полученным из  уравнений связи дифференцированием их по времени один и два раза. Скалярные функции векторного аргумента  дважды непрерывно дифференцируемы по времени, а функционально независимые уравнения связей для любого момента времени позволяют выбрать   независимых элементарных перемещений  из уравнений связей в вариациях

Элементарные перемещения  называются возможными (виртуальными) перемещениями, а скалярные параметры (координаты и углы)  которые соответствуют, независимым из них , называют обобщенные координаты. Говорят, что в иртуальные перемещения совместимы со связями.

Несовместимые со связями  элементарные перемещения    системы тел произвольны, независимы и не удовлетворяют уравнениям связей.   

Силы инерции твердого тела. Главный вектор и главный момент сил инерций тела.

Поле элементарных сил инерций   твердого тела определим   по Даламберу  

по полю абсолютных ускорений  всех его элементарных масс , положение которых по отношению к центру масс С задается векторами .

При этом поле ускорений имеет вид:

Здесь  есть абсолютное ускорение центра масс тела,  есть абсолютная угловая скорость, а  есть абсолютное угловое ускорение тела. В системе координат, связанной с телом, векторы   постоянны.

Определение. Для тела вектор                            

есть главный вектор сил инерций,    

а вектор                               

есть   главный момент сил инерций относительно центра масс С.

Докажем, что в системе координат, связанной с телом, главный момент сил инерции вычисляется по формуле

Здесь  есть оператор инерции тела относительно осей координат, связанных с телом, с началом в центре масс С. Элементы его матрицы  постоянны.

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то момент сил инерции относительно  имеет тот же вид, только его выражают через оператор инерции  относительно неподвижной точки.

Силы взаимодействия тел механической системы подразделяют ся на активные силы  бесконтактного взаимодействия тел и силы контактного взаимодействия    (акции и реакции).  Добавим к ним для каждого тела силы инерции и вычислим их элементарную работу.

Элементарная работа сил инерции твердого тела на виртуальных  перемещении тела вычисляется так:

Здесь элементарное перемещение центра масс  и элементарный угол поворота  тела определяются полем элементарных перемещений точек тела

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то, взяв поле элементарных перемещений в виде

где вектор  индивидуализирует положения элементарных масс тела в системе подвижных координат с началом в неподвижной точке, получим:

Если в плоском движении тела момент импульса  тела параллелен вектору угловой скорости  и виртуальному перемещению  (это имеет место, когда оператор инерции записан в главных осях), то

Здесь  есть осевой момент инерции тела относительно оси . Для этого необходимо, чтобы эта ось была главной осью оператора инерции тела.

Если в теле имеется неподвижная ось вращения , проходящая через некоторую точку  тела или мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку, то элементарная  работа сил инерции тела вычисляется по формуле;

 

Дифференциальный ПРИНЦИП механики систем с геометрическими (голономными) связями.

При движении системы  твёрдых тел в любом ее положении, допускаемом геометрическими связями, сумма элементарных работ всех сил взаимодействий и всех сил инерций равна нулю на любых элементарных перемещениях системы (совместимых или не совместимых со связями):

Принцип (аксиома) применим для любого количества  твердых тел механической системы.

   Дифференциальный принцип механики на виртуальных перемещениях: принцип Даламбера – Лагранжа.

Дифференциальный принцип механики на Возможных (виртуальных) перемещениях применяют для нахождения движения системы. Принцип дает возможность написать дифференциальные уравнения движения системы в случаях, когда элементарная работа всех сил контактного взаимодействия системы равна нулю:

В таком случае говорят, то есть при идеальных связях.

В этом случае из дифференциального принципа следует, что

сумма элементарных работ всех активных сил и всех сил инерций системы равна нулю на любых виртуальных перемещениях системы:

Эту форму дифференциального принципа называют принцип Даламбера - Лагранжа.

Используя уравнения связей, вектор положения точек тела  и его вариацию  можно выразить через обобщенные координаты   и их виртуальные перемещения . 

Поэтому принцип Даламбера - Лагранжа можно представить в следующем виде:

где                       .

В силу независимости и произвольности виртуальных перемещений , уравнение дифференциального принципа     распадаются на n уравнений

Эти уравнения есть дифференциальные уравнения движения системы тел с идеальными связями в обобщенных координатах.

Они не включают неизвестные силы контактных взаимодействий.

Для системы   поступательно движущихся тел (материальных точек)  принцип запишется в виде:

 

 Консервативнаясистема. Положения равновесия консервативных систем.

Консервативная система имеет геометрические стационарные связи, сумма            элементарных работ сил реакций идеальных связей равна нулю, а все работающие силы потенциальны.

Положения равновесия определяются свойствами сил взаимодействий и            виртуальными перемещениями в этих положениях.

А именно: в каждом положении равновесия равны нулю виртуальные работы силового поля и сил реакций связей на любых виртуальных перемещениях:

  .

Это свойство сил взаимодействий примем за определение положений   равновесия.

Так как для потенциальных сил в положениях равновесия виртуальную работу активных сил можно выразить через дифференциал потенциальной энергии, то есть

то равенство нулю полного дифференциала  потенциальной энергии , означает, что положения равновесия доставляют экстремум потенциальной энергии.

Следующее определение положений равновесия консервативной системы тождественно предыдущему.

 Положениями равновесия консервативной системы с идеальными связями называются такие положения системы , совместимые со связями, в которых потенциальная энергия системы   U  принимает экстремальные значения:

Это определение не связано с движениями системы, и, таким образом, не зависит от начальных состояний системы (начальных положений и начальных скоростей тел).

Так как связи системы идеальны, то из принципа Даламбера – Лагранжа следует, что на движениях системы в положениях равновесия равна нулю и виртуальная работа сил инерций.

Пример 1. Математический маятник: материальная точка   М   движется по части окружности   в вертикальной плоскости. В нижней точке, , равны нулю виртуальные работы силы тяжести и силы реакции нити. Это есть положение равновесия. маятника. Так как скорость точки в положении равновесия имеет максимум, то касательное ускорение в нем равно нулю. Поэтому сила инерции точки, определяемая нормальным ускорением, перпендикулярна виртуальному перемещению и не работает на нем.

Заметим, что на границе интервала виртуальная работа силы тяжести (и силы инерции) не равны нулю, поэтому граница интервала не есть положение равновесия, хотя потенциальная энергия маятника в ней имеет максимум.

Пример 2. Сферический маятник: материальная точка подвешена на нити в точке О, центре сферы. Хотя сила тяжести и сила реакции нити не работают на элементарных перемещениях, векторы которых являются касательными векторами к параллелям сферы, однако они работают на виртуальных перемещениях, касательных к меридианам сферы. В нижней точке сферы эти силы не работают на всех виртуальных перемещениях, поэтому нижняя точка сферы есть  положение равновесия маятника.

Пример 3. Система состоит из однородного тонкого стержня АВ с массой М и груза D  с массой  , соединенного со стержнем невесомой нитью. При гладкости плоскостей консервативная система с одной степенью свободы имеет идеальные связи. При произвольных массах тел в системе нет положений равновесия. Но если , то все положения системы, допустимые связями , есть безразличные положения равновесия. Это видно из принципа виртуальных перемещений, который можно записать в следующем виде:

 

 

  Дифференциальный принцип механики для систем в положениях равновесия, состоянии равновесия и в покое.

Если механическая система с идеальными связями находится в покое на конечном интервале времени, то равны нулю все силы инерции. Тогда

Используя обобщенные координаты системы и их вариации ,   принцип виртуальных перемещений можно записать в следующем виде:

      

где  есть обобщенные силы системы.