Функции Гамильтона и Раусса. Уравнения Гамильтона и Раусса.

Введем функцию Лагранжа = , записанную в переменных Лагранжа, Так как для консервативной и обобщенно консервативной систем в кинетической энергии системы имеется квадратичная функция обобщенных скоростей

то    линейно зависит от обобщенных скоростей. Применим к функции Лагранжа преобразование Лежандра по обобщенным скоростям:

где  есть обобщенный импульс. Так как матрица A положительно определена, из этой системы линейных уравнений относительно обобщенных скоростей выразим обобщенные скорости через обобщенные импульсы и обобщенные координаты. В результате, подставляя обобщенные скорости в функцию

мы выражаем ее через новые переменные , , которые называются переменными Гамильтона.

Определение. Функция  результат преобразования Лежандра функции Лагранжа по обобщенным скоростям , называется функцией Гамильтона:

В частности, для консервативной системы функция Лагранжа имеет следующий вид:

Из системы линейных уравнений  обобщенные скорости выражаются просто: .

Канонические уравнения Гамильтона

В силу известных свойств   преобразования Лежандра имеем: 

 а из уравнений Лагранжа второго рода имеем  

Тогда в переменных Гамильтона ,   канонические уравнения Гамильтона запишутся так:

Уравнения Раусса.

Выберем теперь в качестве независимых переменных K обобщенных координат и обобщенных скоростей   (их обозначение общего члена есть ) и n - k переменных   (их общий член обозначим  ). 

Определение. Функцией Рауса   R называется преобразование Лежандра  (со знаком минус) функции Лагранжа    L  по части обобщенных скоростей :

В переменных Раусса дифференциальные уравнения движения запишем в виде, который называется   уравнениями Раусса:

Доказательство. По свойству преобразования Лежандра имеем

а по определению преобразования Лежандра и его свойству, а также по свойству двойного преобразования Лежандра имеет место

Наконец, из уравнения Лагранжа

Следует

В результате, уравнения Раусса запишутся в виде.

Решение уравнений Раусса для систем с циклическими координатами.  

Пусть теперь механическая система с n степенями свободы имеет циклические координаты    (их общее обозначение  )

тогда как остальные координаты  (позиционные координаты, их общее обозначение ) содержатся в функции Лагранжа

Если выполняется условие

то из системы уравнений

можно найти .

Зависимость позиционных координат от времени и начальных условий находят из первых уравнений Раусса

после чего из оставшихся уравнений ищут зависимость от времени позиционных координат.

Устойчивость движений консервативных в окрестности их положений равновесия.

Понятие устойчивости движений.                                                

Изучается устойчивость некоторого множества решений  уравнений движения консервативных систем,  для которых начальные условия   находятся в малой окрестности некоторого положения равновесия системы, то есть   

Определение. Решение уравнений движения консервативной системы    называется устойчивым, если

Устойчивое решение называется асимптотически устойчивым, если

Далее для решения некоторых задач по устойчивости движений голономных систем будут использоваться достаточные условия устойчивости некоторых классов движений.

Достаточные условия устойчивости локальных положений равновесия консервативных систем. Теорема Дирихле – Лагранжа.

Пусть  в консервативной системе нет циклических координат и существуют локальные (изолированные) положения равновесия, которые можно найти из условий экстремальности потенциальной энергии  в положении равновесия:

Теорема Дирихле - Лагранжа. Если в положении равновесия  потенциальная энергия консервативной системы имеет локальный минимум, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову (по обобщенным координатам и скоростям).

Минимум потенциальной энергии U в положении равновесия   определяется положительной определенностью матрицы из коэффициентов второго дифференциала потенциальной энергии . Часто критерия Сильвестра достаточно, чтобы проверить положительную определенность матрицы С: все главные миноры матрицы должны быть положительны.

Достаточные условия частичной устойчивости положений равновесия консервативных систем с циклическими координатами.

Теорема. Если в положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы имеет локальный минимум по позиционным координатам, то положение равновесия частично устойчиво по позиционным координатам и скоростям.

Положение равновесия систем с циклической координатой неустойчиво по Ляпунову.