Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

 В теле имеется две неподвижные точки. Тогда все точки оси , проходящей через эти точки, неподвижны. Нет поступательного движения, а вращательное движение задается одним параметром – углом поворота  подвижных векторов базиса и вокруг неподвижной оси .

Матрица вращения  выражается через угол  вращения тела вокруг оси :

откуда вектор угловой скорости  имеет в неподвижном базисе одну ненулевую компоненту :

Во вращении твердого тела вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости параллелен оси вращения  (по определению).

Скорости точек тела перпендикулярны к оси вращения и к вектору . Точки тела движутся по окружностям с радиусами R, равными расстоянию точек от оси вращения и имеют величину

Скорость любой точки тела можно представить в следующем виде:

Плоское движение твердого тела. Скорость полюса  расположена в одной и той же неподвижной плоскости  а угловая скорость перпендикулярна плоскости:  

Плоское движение есть композиция поступательного и вращательного движений. Для двух точек А и В плоской фигуры тела скорости точек лежат в плоскости фигуры, а угловая скорость ей перпендикулярна.

Плоское движение имеет три степени свободы. Скорости любых двух точек тела связаны соотношением:

Мгновенный центр скоростей (мгновенная ось вращения) в плоском движении тела. Для непоступательного плоского движения твердого тела в любом положении тела существует точка   Р плоской  фигуры  (или ее продолжения), скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Взяв её за полюс, и зная, что скорость полюса равна нулю, получим, что скорость любой точки А плоской фигуры перпендикулярна вектору :

Эта формула задает поле скоростей точек твердого тела в плоском движении.

Ось, перпендикулярную плоскости фигуры и проходящую через мгновенный центр скоростей, называют мгновенной осью вращения.

Таким образом, непоступательное плоское движение тела можно представить, в каждом положении тела, как только вращательное.

Сферическое движение тела. В этом движении имеется одна неподвижная точка в теле О.  Поэтому

 

Мгновенная ось вращения, если может быть найдена, проходит в этом случае через неподвижную точку.

Ускорение точек твердого тела. Угловое ускорение тела.

Продифференцируем по времени формулу для поля скоростей:

Здесь вектор  называется угловым ускорением твердого тела. Итак,

Эта формула задает п оле ускорений в теле, то есть каждому вектору  сопоставляется вектор ускорения точки .

В случаях плоского и вращательного движений ускорение любой точки тела вычисляется по формуле:

где вектор  перпендикулярен векторам  и .

Криволинейные координаты.

Положение точки тела можно задавать не только тремя декартовыми координатами, но и другими упорядоченными тройками скалярных параметров, взаимно однозначно и непрерывно связанных с декартовыми координатами.

Определение. Каждой точке  с координатами  сопоставим три упорядоченных числа  по некоторому правилу:

Назовем , i = 1, 2, 3,  криволинейными координатами точки М. Функции  взаимно однозначны и непрерывно дифференцируемы по всем координатам и имеют обратные функции в некоторой области взаимной однозначности

Определение.

Три вектора    

называются базисом криволинейных координат в точке .

Компоненты векторов базиса записаны в декартовом базисе.

Векторы базиса изменяются при изменении положения точки :

Длины  векторов базиса (коэффициенты Ламе) вычисляются по формулам:

Каждый вектор базиса касается соответствующей координатной линии, вдоль которой изменяется только одна координата, а две другие фиксированы. Например, первая координатная линия запишется так:

В криволинейной системе координат в каждой точке   координатные линии  пересекаются  в этой точке.

Определение. Поверхности уровня функций

называются координатными поверхностями, проходящими через точку  

Определение. Три вектора градиентов к соответствующим координатным поверхностям

называются векторами кобазиса в точке .

 Изменение векторов базиса при изменении положения точки  разложим по базису:

.

В последнем выражении опущен знак суммирования по паре индексов суммирования   когда один из них находится вверху, а другой – внизу (правило Эйнштейна).

Далее при написании формул будет использоваться правило Эйнштейна.

Коэффициенты   называются символами Кристоффеля второго рода. Они симметричны по нижним индексам:

Поэтому число различных символов Кристоффеля меньше двадцати семи.

Можно показать, что векторы базиса и кобазиса взаимны, то есть их скалярные произведения равны символу Кронекера:

Символы Кристоффеля вычисляются следующим образом:

Векторы базиса  в общем случае не ортогональны и не нормированы, однако имеются системы координат, для которых это не так.

Определение. Криволинейная система координат называется ортогональной системой координат, если векторы базиса ортогональны:

В этом случае вводится ортонормированный базис

Можно показать, что для ортогональных криволинейных координат нормированные векторы базиса и кобазиса совпадают.

Скорость и ускорение точки тела в криволинейных координатах.

Определение. Движение точки в криволинейных координатах записывается следующим образом:

Скорость и ускорение точки в базисе криволинейных координат:

 

 

Компоненты   

называются контравариантными компонентами векторов скорости и ускорения соответственно.

Компоненты  называются физическими компонентами векторов скорости и ускорения.

В последних формулах применяется следующее правило (Эйнштейна): если в одной части уравнения, (формулы), индекс свободный, то есть по нему нет суммирования, то по нему нет суммирования и в другой части уравнения.

Физические компоненты векторов скорости  и ускорения   в ортонормированном базисе  имеют обычную физическую размерность.

Цилиндрическая ортогональная система координат,

Прямое отображение : 

Обратное отображение :

Коэффициенты Ламе:

Базис  в разложении по декартовому базису имеет вид:

Очевидно, что эти векторы взаимно ортогональны.

Кобазис  разлагается по декартову базису так:

 

Ненулевые символы Кристоффеля:     

Физические компоненты вектор ов скорости и ускорения имеют вид: 

Полярная система координат.

Если в цилиндрических координатах положить z = 0, то система координат называется полярной системой координат. Она описывает движение точки в одной плоскости. Для нее физические компоненты скорости и ускорения имеют вид :

.

Сферическая ортогональная система координат

Прямое отображение  

Обратное отображение :  

Коэффициенты Ламе:

Векторы базиса и кобазиса связаны следующим образом:

Символы Кристоффеля имеют следующие значения:

Связь контравариантных и физических компонент скорости и ускорения имеет вид:

 

Вычислим третью физическую компоненту вектора ускорения:

Окончательно, физические компоненты векторов скорости и ускорения в сферических координатах вычисляются по следующим формулам:

Движение точки вдоль траектории. Скорость и ускорение точки в проекциях на естественный ортонормированный базис.

Траектория какой-либо точки тела есть геометрическое место всех последовательных положений точки при движении тела. Принимаем, что это есть некоторая гладкая кривая линия в .

Пусть движение точки тела (далее точки) задано в декартовых координатах:

Выберем на кривой начало отсчета О дуговой координаты s точки М при ее движении как расстояние вдоль кривой от начального положения (точки О) до ее текущего положения М:

Далее, примем в качестве параметра вместо времени t дуговую координату s:

Касательный к траектории вектор   определим следующим образом:                                         

Вектор главной нормали   перпендикулярен к вектору

Величина  называется кривизной кривой в точке М, а величина     называется радиусом кривизны.

В каждой точке траектории три единичных вектора  и  взаимно перпендикулярны и образуют естественный ортонормированный базис, ориентация векторов которого определяется видом траектории и положением точки М на траектории.

Движение точки в естественной форме

Скорость точки  направлена по касательной к траектории: 

а её проекция на ось   равна:

Ускорение точки   раскладывается по естественному базису так:

Они называются так: касательное  и нормальное   ускорения. Окончательно:

Если траектория точки есть окружность с радиусом R, то кривизна окружности равна, по определению, радиусу окружности, и поэтому нормальное ускорение точки есть