Консервативные системы с циклическими координатами.

Определение. Обобщенная координата , которая не содержится в функции Лагранжа , то есть         

называется циклической координатой.

Если консервативная система не имеет циклических координат, то положения равновесия системы изолированы (локальны). В системах с циклическими координатами имеются   безразличные положения равновесия, которые не являются изолированными.

Изолированные положения равновесия обладают тем свойством, что в них система может находиться в покое, то есть при нулевых начальных условиях, на некотором конечном интервале времени движение системы отсутствует.

Дифференциальные уравнения движения  голономных систем. Уравнения Лагранжа второго рода.

В голономной механической системе наложенные на систему связи есть геометрические связи или кинематические связи, сводящиеся к геометрическим их интегрированием. Число независимых параметров, обобщенных координат, задающих положение системы, равно числу степеней свободы и числу независимых вариаций координат в уравнениях  связей в вариациях.

Рассмотрим далее голономную  систему N  твердых тел с   степенями свободы и  с m   уравнениями геометрических идеальных связей.

Дифференциальный принцип механики для таких систем имеет вид:

Это уравнение эквивалентно n скалярным уравнениям, которые можно представить в виде уравнений Лагранжа.

Для их вывода необходимо понятие кинетической энергии твердого тела и системы тел.

Кинетическая энергия твердого тела.

Пусть вектор задает поле абсолютных скоростей элементарных масс (точек) движущегося тела, положение которых в системе координат, жестко связанной с телом, и с началом в центре масс, задается векторами  О пределение. Кинетическая энергия твердого тела в любом его положении определяется как совокупность кинетических энергий элементарных масс тела :

Задавая массовую плотность любой элементарной массы тела этот интеграл можно представить как тройной интеграл по объему тела.

Так как  и  есть абсолютная скорость центра масс и абсолютная угловая скорость тела, то кинетическая энергия тела может быть представлена в виде двух слагаемых:

Здесь  есть масса тела,  есть оператор инерции тела относительно осей, связанных с телом, с началом в его центре масс  

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то кинетическая энергия тела вычисляется по формуле:

где  есть оператор инерции тела относительно точки . В главных осях оператора инерции его матрица имеет только диагональные осевые моменты инерции   Поэтому в главных осях

В плоском движении тела

где плоская фигура движется в плоскости .

Если в теле известно положение мгновенной оси вращения с направлением , одна из точек которой есть  то, вычисляя осевой момент инерции относительно этой оси , кинетическую энергию тела вычисляют так:

где

  Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел.