Механика - наука, изучающая движение и взаимодействие материальных тел.

Теоретическая механика

Учебное пособие

 

 

Новосибирск, НГУ, 2020

 

 

Введение.

Инерционные характеристики абсолютно твердого тела.

Масса тела, а также геометрия пространственного распределения элементарных масс в объеме тела влияют на его способность к ускорению или замедлению поступательного движения или вращения тела вокруг неподвижной оси или подвижной (мгновенной) оси вращения твердого тела. Эти массовые свойства тела называются инерционностью тела.

Определения.

Центр масс С тела есть постоянная в теле точка в системе координат  , связанной с телом:

Здесь вектор  определяет в теле положение элементарной массы тела  по отношению к началу подвижной системы координат, - её элементарный объем. Удельная массовая плотность . Массу всего тела обозначим      

 При движении тела центр масс движется в неподвижной системе координат и имеет текущее положение  

скорость центра масс          и

  ускорение центра масс

Распределение масс твердого тела по отношению к оси.

Выберем в пространстве некоторую прямую линию (ось) в направлении единичного вектора , имеющую одной из своих точек точку  тела.

 Для некоторого твердого тела с массой    определим некоторую скалярную величину , задающую расположение всех элементарных масс тела  по отношению к оси. Назовем ее моментом инерции телаотносительно оси или    осевым моментом инерции  тела:

Выберем в теле ортогональную систему координат   и обозначим  косинусы углов между вектором  и векторами базиса;

,  

Из рисунка видно, что

.

Поэтому

Вектор       можно представить в виде:

где выражения в квадратных скобках

есть элементы матрицы линейного отображения , сопоставляющего вектору  скаляр – осевой момент инерции

Симметричный линейный оператор , называется оператороминерции  тела в системе координат, связанной с телом, с началом координат в точке О.

Матрица оператора инерции в связанном с телом базисе имеет постоянные элементы, так как все элементарные массы тела имеют фиксированные расстояния от оси , а также от координатных осей и координатных плоскостей декартовых координат. Диагональные элементы матрицы называются осевые моменты инерции , относительно осей координат, а недиагональные элементы называются центробежные моменты инерции       

:

Очевидно, что

Окончательно, осевой момент инерции тела относительно оси   вычисляется следующим образом:

Это есть билинейное отображение вектора , направленного вдоль оси, одной из точек которой является точка  тела, в число – осевой момент инерции.

Если в декартовых координатах обозначить  расстояние от элементарной массы   dm до оси   О z, то

Так как выбор осей координат в теле произволен, то, для упрощения вычисления моментов инерции относительно любой оси с направлением , можно выбрать такие оси декартовых координат, в которых было бы как можно меньше ненулевых элементов матрицы оператора инерции. При этом надо учесть, что оператор инерции имеет симметричную матрицу. Тогда собственные векторы этого оператора взаимно ортогональны, Поэтому, если базис системы координат направить вдоль собственных векторов, то в этом базисе матрица оператора инерции будет диагональной. Тогда центробежные моменты инерции относительно осей координат будут равны нулю. Положительные собственные числа оператора инерции будут осевыми моментами инерции.

Можно доказать, что ось геометрической симметрии однородного тела есть главная ось оператора инерции тела для всех точек оси. Главными осями инерции являются все оси, перпендикулярные к плоскости геометрической симметрии однородного тела.

 Заметим, что для вычисления осевого момента инерции  относительно любой оси часто удобней выбирать начало координат не в любой точке  на оси , а в центре масс  тела.

 Формула Гюйгенса - Штейнера.

Показывает связь между осевыми моментами инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс С тела:

 Здесь d - расстояние между параллельными осями.

Доказательство.

 Из рисунка видно, что

Так как

                               то

По определению центра масс твердого тела еще одно слагаемое в последней формуле равно нулю.

 

Криволинейные координаты.

Положение точки тела можно задавать не только тремя декартовыми координатами, но и другими упорядоченными тройками скалярных параметров, взаимно однозначно и непрерывно связанных с декартовыми координатами.

Определение. Каждой точке  с координатами  сопоставим три упорядоченных числа  по некоторому правилу:

Назовем , i = 1, 2, 3,  криволинейными координатами точки М. Функции  взаимно однозначны и непрерывно дифференцируемы по всем координатам и имеют обратные функции в некоторой области взаимной однозначности

Определение.

Три вектора    

называются базисом криволинейных координат в точке .

Компоненты векторов базиса записаны в декартовом базисе.

Векторы базиса изменяются при изменении положения точки :

Длины  векторов базиса (коэффициенты Ламе) вычисляются по формулам:

Каждый вектор базиса касается соответствующей координатной линии, вдоль которой изменяется только одна координата, а две другие фиксированы. Например, первая координатная линия запишется так:

В криволинейной системе координат в каждой точке   координатные линии  пересекаются  в этой точке.

Определение. Поверхности уровня функций

называются координатными поверхностями, проходящими через точку  

Определение. Три вектора градиентов к соответствующим координатным поверхностям

называются векторами кобазиса в точке .

 Изменение векторов базиса при изменении положения точки  разложим по базису:

.

В последнем выражении опущен знак суммирования по паре индексов суммирования   когда один из них находится вверху, а другой – внизу (правило Эйнштейна).

Далее при написании формул будет использоваться правило Эйнштейна.

Коэффициенты   называются символами Кристоффеля второго рода. Они симметричны по нижним индексам:

Поэтому число различных символов Кристоффеля меньше двадцати семи.

Можно показать, что векторы базиса и кобазиса взаимны, то есть их скалярные произведения равны символу Кронекера:

Символы Кристоффеля вычисляются следующим образом:

Векторы базиса  в общем случае не ортогональны и не нормированы, однако имеются системы координат, для которых это не так.

Определение. Криволинейная система координат называется ортогональной системой координат, если векторы базиса ортогональны:

В этом случае вводится ортонормированный базис

Можно показать, что для ортогональных криволинейных координат нормированные векторы базиса и кобазиса совпадают.

Скорость и ускорение точки тела в криволинейных координатах.

Определение. Движение точки в криволинейных координатах записывается следующим образом:

Скорость и ускорение точки в базисе криволинейных координат:

 

 

Компоненты   

называются контравариантными компонентами векторов скорости и ускорения соответственно.

Компоненты  называются физическими компонентами векторов скорости и ускорения.

В последних формулах применяется следующее правило (Эйнштейна): если в одной части уравнения, (формулы), индекс свободный, то есть по нему нет суммирования, то по нему нет суммирования и в другой части уравнения.

Физические компоненты векторов скорости  и ускорения   в ортонормированном базисе  имеют обычную физическую размерность.

Цилиндрическая ортогональная система координат,

Прямое отображение : 

Обратное отображение :

Коэффициенты Ламе:

Базис  в разложении по декартовому базису имеет вид:

Очевидно, что эти векторы взаимно ортогональны.

Кобазис  разлагается по декартову базису так:

 

Ненулевые символы Кристоффеля:     

Физические компоненты вектор ов скорости и ускорения имеют вид: 

Полярная система координат.

Если в цилиндрических координатах положить z = 0, то система координат называется полярной системой координат. Она описывает движение точки в одной плоскости. Для нее физические компоненты скорости и ускорения имеют вид :

.

Сферическая ортогональная система координат

Прямое отображение  

Обратное отображение :  

Коэффициенты Ламе:

Векторы базиса и кобазиса связаны следующим образом:

Символы Кристоффеля имеют следующие значения:

Связь контравариантных и физических компонент скорости и ускорения имеет вид:

 

Вычислим третью физическую компоненту вектора ускорения:

Окончательно, физические компоненты векторов скорости и ускорения в сферических координатах вычисляются по следующим формулам:

Движение точки вдоль траектории. Скорость и ускорение точки в проекциях на естественный ортонормированный базис.

Траектория какой-либо точки тела есть геометрическое место всех последовательных положений точки при движении тела. Принимаем, что это есть некоторая гладкая кривая линия в .

Пусть движение точки тела (далее точки) задано в декартовых координатах:

Выберем на кривой начало отсчета О дуговой координаты s точки М при ее движении как расстояние вдоль кривой от начального положения (точки О) до ее текущего положения М:

Далее, примем в качестве параметра вместо времени t дуговую координату s:

Касательный к траектории вектор   определим следующим образом:                                         

Вектор главной нормали   перпендикулярен к вектору

Величина  называется кривизной кривой в точке М, а величина     называется радиусом кривизны.

В каждой точке траектории три единичных вектора  и  взаимно перпендикулярны и образуют естественный ортонормированный базис, ориентация векторов которого определяется видом траектории и положением точки М на траектории.

Движение точки в естественной форме

Скорость точки  направлена по касательной к траектории: 

а её проекция на ось   равна:

Ускорение точки   раскладывается по естественному базису так:

Они называются так: касательное  и нормальное   ускорения. Окончательно:

Если траектория точки есть окружность с радиусом R, то кривизна окружности равна, по определению, радиусу окружности, и поэтому нормальное ускорение точки есть

Определения.

1. Сила, определяющая движение тела, называется центральной, если ее линия действия в любом положении тела проходит через одну и ту же неподвижную точку О.  

2. Говорят, что с илы имеют осевую симметрию, е сли в любом положении движущегося тела линии действия сил расположены в одной и той же плоскости, связанной с телом, и проходящей через некоторую неподвижную ось координат.

 3.Элементарной работой силы   на элементарном перемещении  любой точки тела, лежащей на линии действия силы называется скаляр , равный скалярному произведению вектора силы   и вектора элементарного перемещения :

4. Сила  называется идеальной силой, если ее элементарная работа равна нулю для любого положения тела (точки), допустимого связями.

5. Сила  называется потенциальной силой, если её элементарная работа есть со знаком минус полный дифференциал некоторой скалярной функции U, зависящей от скалярных параметров, определяющих положение точки:

Функция U для данной силы называется ее потенциальной энергией.

По определению потенциальной энергии, вектор суммы потенциальных сил имеет потенциальную энергию, равную сумме потенциальных энергий всех сил.  

  Элементарная работа силы контактного взаимодействия тела со связями.

  При точечном контакте тела со связью линия действия силы проходит через  точку контакта. Покажем, что работа дискретной силы контакта не зависит от точки приложения силы на ее линии действия.

Действительно, пусть одна из точек линии действия силы  есть точка , а другая . Определим элементарную работу силы  на элементарном перемещении:

 так как сила  параллельна вектору .

То же самое будет для каждой силы из системы сил твердого тела.

Таким образом, элементарная работа дискретной системы сил на элементарных перемещениях твердого тела определяется только положением в теле их линий действия, то есть направлением сил и одной из точек на их линиях действия.

Аксиомы реакций связей.

1. Гладкая плоскость, поверхность, гладкая опора. Рисунок 1.

Силы реакций перпендикулярны (направлены по нормали) к плоскостям (поверхностям).

 

2. Невесомая нерастяжимая нить. Рисунок 2. Сила реакции нити  направлена вдоль нити от тела.

 

3. Поступательное (без вращения) скольжение тела по гладкой (без трения) поверхности (плоскости).

При этом сила трения в покое тела не превосходит своего максимального значения (при движении) : .

Нормальная часть реакции поверхности  перпендикулярна к поверхности. Коэффициент трения скольжения  не имеет азмерности.

4. Цилиндрический шарнир, соединяющий тело с неподвижной опорой. Рисунок 4.

Тело, соединенное шарниром с неподвижной опорой, может поворачиваться вокруг оси шарнира  При отсутствии трения и скольжения тела вдоль оси, а также при плоской нагрузке на тело сила реакции оси шарнира имеет неизвестную величину и неизвестное направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира:    

Цилиндрический (подвижный) шарнир может связывать два подвижных тела. Аксиома реакции связи при этом не изменяется.

5. Сферический шарнир. Рисунок 5.

Реакция опоры шарнира на тело, соединенное с шаровой частью шарнира, при произвольной нагрузке на тело может иметь любое направление в пространстве. Поэтому

6. Подпятник и подшипник. Рисунок 6.

Сила реакции подпятника  может иметь произвольное направление. Реакция подшипника  перпендикулярна к оси :

7. Качение цилиндра (без скольжения). Рисунок 7. Касание цилиндра с плоскостью происходит в одной точке. Сила трения не связана с нормальной реакцией и зависит от движения тела.

8. Качение цилиндра (без скольжения) при наличии момента сопротивления качению. Рисунок 8. Касание цилиндра с плоскостью происходит не в одной точке. Главный вектор сил реакций   и главный момент сил реакций  относительно точки  равен

Коэффициент сопротивления качению  имеет размерность длины (метр).

9. Реакция балки, заделанной в стену. Рисунок 9. При нагрузке на балку в плоскости  реакция стены определяется главным вектором заделки  и главным моментом заделки : 

Цилиндрический шарнир на подвижной опоре (в точке ) имеет силу реакции, перпендикулярную к поверхности:

.

      

Дифференциальный принцип механики.

Рассматривается система N абсолютно твердых тел, на положения и, как следствие, на движение тел наложены геометрические (кинематические) ограничения (связи). Тела системы взаимодействуют между собой и с другими телами механической системы, не включенными  в систему  тел.

Понятия и определения.

Уравнения связей системы тел. Положение системы по отношению к инерциальной системе отсчета определяют 6 N скалярных параметров  (координаты, углы), . Положение  системы совместимо со связями, то есть    удовлетворяет геометрическим уравнениям связей

а движение   удовлетворяет еще и кинематическим уравнениям связей, полученным из  уравнений связи дифференцированием их по времени один и два раза. Скалярные функции векторного аргумента  дважды непрерывно дифференцируемы по времени, а функционально независимые уравнения связей для любого момента времени позволяют выбрать   независимых элементарных перемещений  из уравнений связей в вариациях

Элементарные перемещения  называются возможными (виртуальными) перемещениями, а скалярные параметры (координаты и углы)  которые соответствуют, независимым из них , называют обобщенные координаты. Говорят, что в иртуальные перемещения совместимы со связями.

Несовместимые со связями  элементарные перемещения    системы тел произвольны, независимы и не удовлетворяют уравнениям связей.   

Силы инерции твердого тела. Главный вектор и главный момент сил инерций тела.

Поле элементарных сил инерций   твердого тела определим   по Даламберу  

по полю абсолютных ускорений  всех его элементарных масс , положение которых по отношению к центру масс С задается векторами .

При этом поле ускорений имеет вид:

Здесь  есть абсолютное ускорение центра масс тела,  есть абсолютная угловая скорость, а  есть абсолютное угловое ускорение тела. В системе координат, связанной с телом, векторы   постоянны.

Определение. Для тела вектор                            

есть главный вектор сил инерций,    

а вектор                               

есть   главный момент сил инерций относительно центра масс С.

Докажем, что в системе координат, связанной с телом, главный момент сил инерции вычисляется по формуле

Здесь  есть оператор инерции тела относительно осей координат, связанных с телом, с началом в центре масс С. Элементы его матрицы  постоянны.

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то момент сил инерции относительно  имеет тот же вид, только его выражают через оператор инерции  относительно неподвижной точки.

Силы взаимодействия тел механической системы подразделяют ся на активные силы  бесконтактного взаимодействия тел и силы контактного взаимодействия    (акции и реакции).  Добавим к ним для каждого тела силы инерции и вычислим их элементарную работу.

Элементарная работа сил инерции твердого тела на виртуальных  перемещении тела вычисляется так:

Здесь элементарное перемещение центра масс  и элементарный угол поворота  тела определяются полем элементарных перемещений точек тела

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то, взяв поле элементарных перемещений в виде

где вектор  индивидуализирует положения элементарных масс тела в системе подвижных координат с началом в неподвижной точке, получим:

Если в плоском движении тела момент импульса  тела параллелен вектору угловой скорости  и виртуальному перемещению  (это имеет место, когда оператор инерции записан в главных осях), то

Здесь  есть осевой момент инерции тела относительно оси . Для этого необходимо, чтобы эта ось была главной осью оператора инерции тела.

Если в теле имеется неподвижная ось вращения , проходящая через некоторую точку  тела или мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку, то элементарная  работа сил инерции тела вычисляется по формуле;

 

Дифференциальный ПРИНЦИП механики систем с геометрическими (голономными) связями.

При движении системы  твёрдых тел в любом ее положении, допускаемом геометрическими связями, сумма элементарных работ всех сил взаимодействий и всех сил инерций равна нулю на любых элементарных перемещениях системы (совместимых или не совместимых со связями):

Принцип (аксиома) применим для любого количества  твердых тел механической системы.

   Дифференциальный принцип механики на виртуальных перемещениях: принцип Даламбера – Лагранжа.

Дифференциальный принцип механики на Возможных (виртуальных) перемещениях применяют для нахождения движения системы. Принцип дает возможность написать дифференциальные уравнения движения системы в случаях, когда элементарная работа всех сил контактного взаимодействия системы равна нулю:

В таком случае говорят, то есть при идеальных связях.

В этом случае из дифференциального принципа следует, что

сумма элементарных работ всех активных сил и всех сил инерций системы равна нулю на любых виртуальных перемещениях системы:

Эту форму дифференциального принципа называют принцип Даламбера - Лагранжа.

Используя уравнения связей, вектор положения точек тела  и его вариацию  можно выразить через обобщенные координаты   и их виртуальные перемещения . 

Поэтому принцип Даламбера - Лагранжа можно представить в следующем виде:

где                       .

В силу независимости и произвольности виртуальных перемещений , уравнение дифференциального принципа     распадаются на n уравнений

Эти уравнения есть дифференциальные уравнения движения системы тел с идеальными связями в обобщенных координатах.

Они не включают неизвестные силы контактных взаимодействий.

Для системы   поступательно движущихся тел (материальных точек)  принцип запишется в виде:

 

 Консервативнаясистема. Положения равновесия консервативных систем.

Консервативная система имеет геометрические стационарные связи, сумма            элементарных работ сил реакций идеальных связей равна нулю, а все работающие силы потенциальны.

Положения равновесия определяются свойствами сил взаимодействий и            виртуальными перемещениями в этих положениях.

А именно: в каждом положении равновесия равны нулю виртуальные работы силового поля и сил реакций связей на любых виртуальных перемещениях:

  .

Это свойство сил взаимодействий примем за определение положений   равновесия.

Так как для потенциальных сил в положениях равновесия виртуальную работу активных сил можно выразить через дифференциал потенциальной энергии, то есть

то равенство нулю полного дифференциала  потенциальной энергии , означает, что положения равновесия доставляют экс