Положение и движение абсолютно твердого тела.

По определению абсолютно твердого тела, при его движении расстояние между любыми двумя точками тела не изменяются.

  Положение тела в неподвижной системе координат  определяется шестью параметрами: три координаты полюса О и три угла между подвижными и неподвижными осями координат. Для индивидуализации положений элементарных масс  в теле введем вектор  в подвижной системе  координат  

Положение любой точки (элементарной массы) в неподвижном базисе зададим вектором

Определение. Движением абсолютно твердого тела называется гладко зависящее от времени линейное отображение точек подвижной системы координат, связанной с телом, в неподвижную систему координат. Оно осуществляется с помощью гладко зависящего от времени аффинного отображения, вращающаяся часть которого представляется ортогональной матрицей  вращения , сохраняющей расстояние между точками тела и ориентацию подвижного базиса.

При движении твердого тела относительно неподвижной системы отсчета   образ  векторов   вращается в неподвижной системе координат вместе с телом  и постоянен по величине для всех его точек.

Ортогональное линейное отображение есть композиция параллельного переноса и поворота.

Поэтому для любой точки  тела определим ее движение в неподвижной системе координат как сумму двух векторов:  и , определяющих соответственно поступательное и вращательное движение как составляющие абсолютного движения твердого тела:

Здесь  есть ортогональная матрица перехода к неподвижному базису всех векторов   записанных в подвижном базисе. Для таких матриц

обратная матрица  равна транспонированной матрице :

Задать движение твердого тела – значит задать для всех точек  тела поступательную часть движения тремя координатами вектора полюса   и тремя различными элементами матрицы вращения .

Таким образом, произвольное свободное движение твердого тела задается шестью независимыми параметрами, то есть имеет шесть степеней свободы.

Если тело несвободно, то число независимых параметров меньше шести. Это число определяется уравнениями связей.

Скорости точек твердого тела. Угловая скорость тела.

Скорость любой точки тела   определяется в неподвижном базисе:

Матрица  есть антисимметричная матрица, что доказывается так:

Тогда получим

Вектор   можно представить следующим образом:

так как

где три различных элемента матрицы , по определению, образуют вектор угловой скорости твердого тела :

Тогда скорость точки тела вычисляется как векторная сумма скорости поступательного движения  с выбранным началом подвижной системы координат   О  и  скорости вращательного движения :

Вектор угловой скорости  не зависит от выбора полюса О и определяется только матрицей вращения .

Связь скоростей любых  двух  точек А  и В тела.

Таким образом, проекции скоростей любых двух точек твердого тела  и  на направление вектора , соединяющего точки, равны.

Положение и движение любой точки твердого тела при поступательном движении тела.

Поступательное движение тела имеет три степени свободы из шести, так как элементы матрицы вращений постоянны, а вектор  тоже постоянен для всех точек тела и его будем считать нулевым, взяв начало подвижной системы координат в центре масс тела (его положение в теле всегда можно определить). Поэтому все точки тела в любом его положении имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения, а траектории всех точек тела имеют одинаковую форму.

Введем неподвижную ортогональную систему координат с координатами    x, y, z и началом О. Для простоты обозначений абсолютное положение некоторой точки тела     обозначим вектором положения точки

Движение точки тела определяется изменением её положения во времени:

 

Скорость точки тела есть вектор

Компоненты вектора скорости есть производные по времени от компонент вектора движения.

Ускорение точки тела есть вектор     

Компоненты вектора ускорения есть производные по времени от компонент вектора скорости.

Компоненты векторов скорости и ускорения (проекции векторов) записаны в декартовом базисе.

Траектория точки есть геометрическое место всех последовательных  положений точки при ее движении: 

 .