Сложение угловых скоростей и угловых ускорений в сложном движении твердого тела.

Представим абсолютное движение твердого тела как два движения.

Введем неподвижную, абсолютную систему координат . Тогда абсолютное движение тела определяется движением полюса О и матрицей абсолютного вращения .

Введем подвижную систему координат , по отношению которой относительное движение тела определяется относительным движением  полюса  и матрицей относительного вращения , а переносное движение – движением полюса подвижной системы координат  и матрицей ее вращения .

Наконец, для индивидуализации точек тела, как и раньше, зададим в теле систему координат , жестко связанную с телом.

Исследуем только вращательные части относительного и переносного вращений, заданные матрицами  и  соответственно, игнорируя при этом все поступательные движения. Это значит, что начала всех систем координат совпадают, и точка О есть неподвижная точка тела. Тогда абсолютное вращение тела есть композиция двух последовательных аффинных преобразований с ортогональными матрицами.  Поэтому матрица абсолютного вращения  определяется как произведение матриц  и , а абсолютное движение любой точки тела

Абсолютная скорость любой точки тела  есть для сферического движения

Здесь вектор  последовательно перезаписывается сначала в подвижном базисе (), а затем в неподвижном ().

С другой стороны, представляя движение тела как сложное, можем вычислить скорость точки  так:

Таким образом,

Значит, выражение в скобках равно нулю.

Здесь , ,  есть угловые скорости абсолютного, относительного и переносного вращений соответственно.

В результате получаем теорему о сложении векторов угловых скоростей относительного   и переносного    вращений:

Дифференцируя по времени это выражение, докажем теорему о сложении угловых ускорений твердого тела в сложном движении:

Доказательство:

Здесь , ,  и  есть абсолютное, относительное и добавочное угловые ускорения.    

 

 

Взаимодействие твердых тел. Свойства сил.

Центральные силы. Силы с осевой симметрией. Потенциальные силы, потенциальная энергия.

Определения.

1. Сила, определяющая движение тела, называется центральной, если ее линия действия в любом положении тела проходит через одну и ту же неподвижную точку О.  

2. Говорят, что с илы имеют осевую симметрию, е сли в любом положении движущегося тела линии действия сил расположены в одной и той же плоскости, связанной с телом, и проходящей через некоторую неподвижную ось координат.

 3.Элементарной работой силы   на элементарном перемещении  любой точки тела, лежащей на линии действия силы называется скаляр , равный скалярному произведению вектора силы   и вектора элементарного перемещения :

4. Сила  называется идеальной силой, если ее элементарная работа равна нулю для любого положения тела (точки), допустимого связями.

5. Сила  называется потенциальной силой, если её элементарная работа есть со знаком минус полный дифференциал некоторой скалярной функции U, зависящей от скалярных параметров, определяющих положение точки:

Функция U для данной силы называется ее потенциальной энергией.

По определению потенциальной энергии, вектор суммы потенциальных сил имеет потенциальную энергию, равную сумме потенциальных энергий всех сил.  

  Элементарная работа силы контактного взаимодействия тела со связями.

  При точечном контакте тела со связью линия действия силы проходит через  точку контакта. Покажем, что работа дискретной силы контакта не зависит от точки приложения силы на ее линии действия.

Действительно, пусть одна из точек линии действия силы  есть точка , а другая . Определим элементарную работу силы  на элементарном перемещении:

 так как сила  параллельна вектору .

То же самое будет для каждой силы из системы сил твердого тела.

Таким образом, элементарная работа дискретной системы сил на элементарных перемещениях твердого тела определяется только положением в теле их линий действия, то есть направлением сил и одной из точек на их линиях действия.