I. Интегрирование степенных функций

 

Наиболее распространенным является интеграл от степенной функции (таблица интегралов, с. 33). Для вычисления этих интегралов необходимо знать следующие правила действий со степенями, приведенными на стр. 26.

Пример 1

Вычислить:

Задание 1 к разделу 1

II. Интегрирование заменой переменной

Этот метод интегрирования основан на введении в подынтегральную функцию новой переменной величины и ее дифференциала, причем замену переменной необходимо подбирать таким образом, чтобы в исходном интеграле присутствовал дифференциал новой переменной в явном виде. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

Вычислить:

 

Пример 3

Вычислить:

 

Пример 4

Вычислить:

 

Замечание: после введения новой переменной и вычисления интеграла необходимо вернуться к исходной переменной.

 

Задание  2 к разделу 1

1.      

2.             

3.           

4.           

5.                  

6.                 

7.           

8.              

9.

10.            

III. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид ,
т. е. исходный интеграл  необходимо, вводя новые функции  и , представить в виде , а затем построить правую часть формулы. По такой формуле вычисляются интегралы вида:  причем, вместо  может быть линейная подстановка .

В этом случае степенная функция  обозначается функцией ,
а  – все остальные множители. Формулу интегрирования по частям можно применять многократно, например, в вышеуказанных интегралах формулу необходимо применить «» раз.

 

Пример 5

Вычислить:

 

Кроме указанных интегралов по этой же формуле вычисляются интегралы вида:  и т.п.

Пример 6

Вычислить:

 

 

Пример 7

Вычислить:

 

Задание 3 к разделу 1

 

 

IV. Интегрирование рациональных дробей

Рассмотрим интегрирование рациональных дробей вида:

 

,

 

где  и  – рациональные многочлены степени  и .

Если , то дробь называется неправильной, если , то дробь – правильная.

Интегрируются только правильные дроби, поэтому, если под интегралом дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы целой части и правильной дроби, а затем выполнять интегрирование.

 

Пример 8

Вычислить:

 

 

Рассмотрим теперь интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей и привести к общему знаменателю:

 

где А и В – неопределенные коэффициенты, так как = , то , приравнивая коэффициенты при  и при , получаем систему:

 

 

Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:

 

Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:

 

 

Рассмотрим интегрирование квадратного трехчлена путем выделения полного квадрата и приведения исходного интеграла к табличному.

 

Пример 9

Вычислить:

 

 

Пример 10

Вычислить:

 

.

 

 

Пример 11

Вычислить:

 

.

Теоретические вопросы к разделу 1

1. Неопределенный интеграл, его свойства.

2. Интегрирование заменой переменной.

3. Формула интегрирования по частям, типы интегралов, которые вычисляются по этой формуле.

Задание 4 к разделу 1

 

Раздел 2. Определенный интеграл

Определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования имеет вид:

,

 

где а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования;  – подынтегральная функция.

Вычисляется определенный интеграл по формуле Ньютона–Лейбница:

 

,

 

т. е. для вычисления необходимо найти первообразную , подставив вместо  верхний предел  и вычесть значение первообразной при .

 

Пример 1

Вычислить:

 

При вычислении определенного интеграла заменой переменных необходимо вводить новые пределы интегрирования, соответствующие новой переменной.

 

 

Пример 2

Вычислить:

 

Вычисление определенного интеграла по частям.

 

Пример 3

Вычислить:

Теоретические вопросы к разделу 2

1. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница.

2. Интегрирование определенного интеграла заменой переменной и по частям.

Задание 1 к разделу 2

Вычислить:

Раздел 3. Вычисление площади плоской фигуры

Последовательность вычисления площади плоской фигуры, с помощью определенного интеграла следующая (рис. 4):

1) находим точки пересечения заданных линий;

2) находим точки пересечения линий с координатными осями;

3) строим область, ограниченную линиями на плоскости XОУ;

4) составим определенный интеграл и вычислим искомую площадь.

 

Пример 1

Найти площадь, ограниченную линиями .

Решение:

Находим точки пересечения линий. Для этого приравняем правые части уравнений:

 

т. е. точки пересечения  (рис. 4).

 

 

Строим заданные линии на плоскости ХОУ:

1) точки пересечения параболы:  с осью ОХ:

 

 

2) через точки А и В проводим прямую. Через точки  на оси ОХ и точки А и В проводим параболу. Получаем область, ограниченную линиями, площадь которой необходимо вычислить;

3) составляем определенный интеграл:

 

 

где  – линия, ограничивающая область сверху;  – линия, ограничиваю­щая область снизу;  – наименьшее значение переменной  в области;  – наибольшее значение переменной  в области.

 

Рис. 4

 

В нашем случае:

Теоретические вопросы к разделу 2

1. Схема вычисления площади плоской фигуры определенным интегралом, нахождение пределов интегрирования, построение подынтеграль­ной функции.

 

 

Задание 1 к разделу 3

Вычислить площадь, ограниченную линиями:

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учеб. для вузов / Д.В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2006. – 312 с.

2. Боревич, З.И. Определители и матрицы: учеб. пособие / З.И. Боревич. – СПб.: Лань, 2004. – 192 с.

3. Привалов, И.И. Аналитическая геометрия: учебник / И.И. Привалов. – СПб.: Лань, 2004. – 304 с.

4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т. 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2005. – 544 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб.
пособие для втузов. В 2 ч. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.
– М.: ОНИКС, 2007. – 304 с.

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб.
пособие для втузов. В 2 ч. Ч. 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ОНИКС, 2006. – 416 с.

8. Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. пособие для втузов / В.С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2006. – 479 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ 3

Контрольная работа № 1. Элементы линейной
и векторной алгебры.................................................................................. 4

Раздел 1. Системы «n» линейных алгебраических уравнений
с «n» неизвестными....................................................................................... 4

Раздел 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии 9

Раздел 3. Базис. Разложение вектора по базисным векторам.......... 12

Контрольная работа № 2. комплексные числа, пределы, исследование непрерывности функции....................................................................... 13

Раздел 1. Комплексные числа................................................................... 13

Раздел 2. Пределы...................................................................................... 17

Раздел 3. Исследование непрерывности функции
в заданных точках «» и «»................................................................. 22

Контрольная работа № 3. Производные и элементы исследования функций............................................................................................................ 25

Раздел 1. Производные.............................................................................. 25

Раздел 2. Экстремум функции, его классификация.............................. 29

Раздел 3. Наибольшее и наименьшее значение функции  
на отрезке ............................................................................................ 31

Контрольная работа № 4. Неопределённый
и определённый интегралы................................................................. 33

Раздел 1. Неопределенный интеграл...................................................... 33

Раздел 2. Определенный интеграл.......................................................... 42

Раздел 3. Вычисление площади плоской фигуры................................. 45

Список рекомендованной литературы......................................... 48

 

 

 

Учебное издание

 

Константинов Никита Сергеевич

Смотрова Марьяна Сергеевна

Богомякова Татьяна Анатольевна

 

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

Методическое пособие по выполнению
контрольных работ № 1, 2, 3, 4 для студентов ИИФО