Гармонические и ударные нагрузки при поперечных колебаниях

 

Так же как при собственных колебаниях распределенные и дискретные массы нужно свести к одной приведённой массе по (12.5), (12.6), а затем рассматривать одномассовую систему.

Пример 12.4. Вычислить приближенное значение динамического коэффициента от гармонической силы  (рис.12.5). Исходные данные: m =400 кг/м, М = 1500 кг, l =4 м, θ=50 1/с, EJ_x = 3,68·10⁶1 / c.

Решение. Заменяем заданную балку условно невесомой с одной приведенной массой

.

Единичное перемещение δ₁₁= l ³/192 EJ_x берем из примера 2 п. 12.3.

Согласно (12.7) приближенное значение частоты первого тона колебаний . При частоте возмущения  отношение частот , а коэффициент нарастания колебаний .

Динамическая нагрузка .

Когда возмущающая сила приложена к сосредоточенной массе, динамический коэффициент по прогибу и изгибающему моменту одинаковый и равен .

В точном решении эти коэффициенты отличаются друг от друга на 3,8%.

Пример 12.5. Двухопорная балка l =4 м (двутавр №20 J_x =1840 см⁴, W_x =184 см³, EJ_x =3,68×10⁶ Нм²) с погонной массой m =400 кг/м испытывает удар неупругой массы M = ml /3, падающей с высоты h =0,5 см. Вычислить приближенно расчетное напряжение.

 

Решение.

Заменяем заданную балку невесомой с приведенной массой M_п в точке удара (рис. 12.6 а). Задаёмся уравнением изогнутой оси балки в виде: . В точке удара . Приведенная масса

.

Приложив в месте падения массы M единичную силу и построив эпюру изгибающих моментов M₁ (рис.12.6 б), по правилу Верещагина найдем перемещение .

Квазистатистическое перемещение от падающей массы

.

Коэффициент передачи энергии .

Динамический коэффициент, на который нужно умножать падающую массу:

.

Изгибающий момент от падающего груза в месте удара

Статический изгибающий момент от равномерно распределенной нагрузки  в том же сечении

.

Расчетное напряжение

.

 

Пример 12.6. Балка, все характеристики которой взяты из предыдущей задачи, загружена тремя массами M =300 кг (рис. 12.7). На левую массу действует возмущающая сила  с амплитудным значением  и частотой возмущения . Вычислить расчетные напряжения.

Решение.

Приводим сосредоточенные массы по формуле (12.7) в точку приложения первой (левой) массы, приняв :

, .

Приведенная масса

.

При вычислении частоты собственных колебаний используем значение единичного коэффициента , который легко получить по правилу Верещагина или методом начальных параметров.

Частота собственных колебаний

.

Отношение частот , коэффициент нарастания колебаний . Динамическая нагрузка в месте приложения возмущающей силы .

Динамический изгибающий момент

.

Статический изгибающий момент в месте приложения возмущающей силы

.

Расчетное напряжение

.

 

Продольные колебания и удар

 

В приближенных расчётах при продольных колебаниях и ударе распределенная масса стержня также заменяется сосредоточенной, вычисленной по (11.1), (11.2). После этого производится расчет одномассовой системы.

Пример 12.7.Найти приближенно частоту первого тона продольных колебаний весомого стержня (рис. 12.8).

Решение. Заменим распределенную массу m сосредоточенной, приведенной к нижнему концу стержня (рис. 12.9). В качестве приближенного уравнения перемещений сечений стержня примем

.

Приведенная масса будет такой:

.

Так как , то приближённое значение частоты основного тона колебаний:

 - это на 3,96% больше точного значения, равного .

 

Пример 12.8. Горизонтальный призматический стержень с погонной массой m испытывает удар налетающей со скоростью v массы  (рис. 12.10). Найти динамические перемещения и напряжения.

Решение.

Заменяем заданный стержень невесомым с приведённой массой  (см. пример 7). Коэффициент передачи энергии

.

Динамический коэффициент вычисляется лишь от скорости удара , т.е. без учета единиц в (12.4),

.

Перемещение торца консоли

,

где  - скорость волны деформации (для стали с»5×10³ м/с).

Точное значение перемещения, полученное из волновой теории, , что на 14,8% меньше приближённого.

Если на стержне, кроме погонной массы m, будет еще масса  на торце консоли, то после приведения массы стержня к торцевому сечению получим коэффициенты передачи энергии: .

В этом случае перемещение  практически совпадает с точным.

Напряжение в приближенном расчёте  при малых значениях h значительно расходится с точным. Лишь при  приближенный расчет дает удовлетворительные результаты.