Учет сосредоточенных масс в колебаниях весомых балок

 

Если на инерционной (весомой) балке есть сосредоточенная масса M_a (рис. 15.15), то от линейных перемещений  возникает сила инерции

 

 

,

где амплитудное значение силы инерции:

                                                         (15. 54)

Амплитудное значение силы инерции P_a в уравнении изогнутой оси балки (15.52) учитывается справа от места приложения массы слагаемым, аналогичным слагаемому, содержащему P ₀, но функция  должна учитывать плечо силы инерции (z - a).

Последовательность вычисления спектра частот собственных колебаний в этом случае остается прежней – нужно рассмотреть граничные условия; получить систему однородных уравнений; определитель системы приравнять нулю, что приведет к частотному уравнению; найти корни этого трансцендентного уравнения (собственные числа), а затем согласно (15.48) вычислить частоты

.                                         (15.55)

Пример 15.8.Найти спектр частот собственных колебаний весомой консоли с погонной массой m и сосредоточенной массой М, рис. 15.16.

Решение. Согласно (15.54) учтем силу инерции в начале координат

.

Уравнение (15.52) для произвольной гармоники примет следующий вид

,

где обозначено , .

Дифференцированием находим уравнение углов поворота

.

Из условия защемления  получаем систему уравнений

,

.

Определитель этой системы приравниваем нулю

.                        (15.56)

С использованием функций Крылова (15.53) это уравнение можно привести к виду

.                           (15.57)

Если ξ=1, то из (15.57) найдем собственные числа и собственные частоты: λ₁=1,2479, λ₂=4,0311, λ₃=7,1341.

, , .

При ξ=0 трансцендентное уравнение (15.57) принимает вид

.                                                             (15.58)

Его корни:  λ₁ = 1,875, λ₂=4,694, λ₃=7,856.

Рассмотрим влияние сосредоточенной массы М на спектр частот собственных колебаний

.     (15.59)

Здесь  – частота собственных колебаний невесомой консоли с сосредоточенной массой М (см. (15.9)).

Теперь легко определить, какой сосредоточенной массой M_n следует заменить распределенную массу консоли, чтобы частота колебаний невесомой консоли была равна частоте первого тона колебаний весомой балки. Из (15.58) найден первый корень λ₁=1,8751 и точное значение частоты первого тона колебаний . Для невесомой консоли с сосредоточенной на конце балки условной массой M_n согласно (15.9) частота колебаний равна . Приравнивая эти частоты, получим коэффициент приведения массы . Такую массу нужно добавлять к сосредоточенной массе весомой балки и решать задачу о колебаниях невесомой балки с одной условной приведенной массой.

Допустим консоль с распределенной массой интенсивностью m имеет на конце балки сосредоточенную массу M = ml. Выше было получено точное значение частоты первого тона колебаний при ξ=1

.

В приближенном решении эту балку можно считать невесомой с сосредоточенной массой M =1,24267 ml, а ее частота окажется равной

,

что на 0,23% меньше точного значения.