Собственные незатухающие колебания

Для возбуждения собственных колебаний сообщим сосредоточенной массе некоторую скорость движения или отклоним упругую систему (балку) из положения статического равновесия некоторой нагрузкой, которая затем снимается, и колебания происходят за счет сообщенной системе энергии, непрерывно переходящей из потенциальной в кинетическую и обратно.

Уравнение перемещений груза (15.1) будет иметь вид

или

,                                     (15.2)

где обозначено .

Решение однородного уравнения, полученного из (15.2) при g =0, имеет вид

                                 (15.3),

или

.                                   (15.4)

Приравнивая (15.3) и (15.4), получим , откуда находим, что , . Отсюда получаем формулы перехода решения (15.3) в (15.4) и наоборот:

, .                             (15.5)

Частное решение уравнения (15.2) ищем в виде , подставляя которое в (15.2), получим , т.е., ,

где  - статический прогиб балки m в месте приложения груза.

Тогда полное перемещение массы

.                               (15.6)

Отсюда следует, что колебания происходят относительно положения статического равновесия. Значит, при изучении колебаний статическую нагрузку можно учитывать отдельно от динамической.

Выразим амплитуду колебаний С и начальную фазу μ через начальные параметры из условий ,  на основании уравнений:

, , оттуда получим:

, .

Амплитуда – это наибольшее перемещение колеблющейся массы.

Начальной фазой называется безразмерный параметр, определяющий начальное перемещений массы при колебаниях.

Следовательно: амплитуда, т.е. наибольшее перемещение колеблющейся массы:

,                                       (15.7)

а начальная фаза, т.е. безразмерный параметр, определяющий начальное перемещений массы при колебаниях

.                                        (15.8)

Циклическая частота колебанийи период колебанийопределяются формулами:

,     .                            (15.9)

Отсюда следует , т.е. циклическая или круговая частота ω представляет количество колебаний за 2π секунд, а период колебаний  - это время, через которое параметры колебательного процесса (перемещения, силовые факторы) повторяются. Период и частота связаны обратной зависимостью

.

После определения перемещений y (t) можно найти силу инерции колеблющейся массы , на которую следует рассчитывать заданную систему.

Аналогичные расчетные формулы будут при продольных колебаниях невесомого стержня с площадью поперечного сечения F при наличии сосредоточенной массы М. Обозначив продольные перемещения груза Q = Mg через u (t), получим:

, ,  .        (15.10)

При крутильных колебаниях невесомого вала с диском, момент инерции которого относительно оси вращения задан

,                        (15.11)

(здесь: Δ – толщина диска, γ – плотность материала,  - полярный момент инерции площади поперечного сечения диска) расчетные формулы (15.10) принимают вид:

, , .     (15.12)

Здесь: φ₀ - начальный угол закручивания вала в месте закрепления диска, θ₀ - начальная угловая скорость вращения вала,  - полярный момент инерции площади поперечного сечения вала диаметра d.

Пример 15.1.На невесомом канате со скоростью υ опускается груз Q = Mg, рис. 15.4. Найти расчетное напряжение в канате при внезапном защемлении его верхнего сечения, если длина каната l и его жесткость EF заданы.

Решение. После защемления каната возникают собственные колебания, вызванные воздействием начальной скорости движения массы.

Так как начального перемещения нет u ₀ =0, то согласно (15.10) амплитуда , начальная фаза μ=0, частота колебаний  и уравнение движения груза .

Сила инерции колеблющейся массы .

С учетом статического нагружения расчетное усилие в канате

.

Следовательно, для определения динамического коэффициента k _д нужно вычислить удлинение каната от статического воздействия груза Q.

Расчетное напряжение σ= N / F.

 

Пример 15.2.Невесомый вал диаметром d и длиною l с диском массой М, диаметром D  и толщиною Δ равномерно вращается с угловой скорость  и внезапно тормозится на левом торце, рис.15.5. Найти расчетное напряжение.

Решение. Так как колебания вызваны угловой скоростью , а не углом закручивания, то согласно (15.12) получаем амплитудный угол закручивания, начальную фазу и частоту собственных крутильных колебаний:

, , ,

где  крутильная жесткость вала с полярным моментом инерции площади поперечного сечения ,  - момент инерции массы диска относительно оси вращения (см. (15.11))

Уравнение угловых колебательных перемещений диска .

Отсюда можно найти крутящий момент сил инерции диска

и напряжение

.

 

Пример 15.3.На невесомую консоль с сосредоточенной массой М ₀ со скоростью v налетает неупругая масса М, вызывая совместные колебания этих масс, рис.15.6. Найти расчетные изгибные напряжения. Геометрические характеристики консоли l, F, W заданы.

Решение. Удар неупругой массы М вызывает собственные колебания воздействием скорости v.

Согласно (15.7) - (15.9) получаем: , μ=0, где  начальная скорость совместного движения масс, η – коэффициент передачи энергии.

Уравнение динамических перемещений масс

.

Отсюда можно найти силу инерции движущихся масс

.

Амплитудное значение силы инерции

(15.13) в защемлении создает изгибающий момент  с напряжением ,  - квазистатический прогиб консоли от веса Q.

 

Пример 15.4.Двухопорная невесомая балкас сосредоточенной массой М посередине пролета отклонена от положения статического равновесия силой Р, которая затем внезапно снимается, рис. 15.7. Вычислить расчетный динамический изгибающий момент.

Решение. В этом примере колебания вызваны отклонением груза из положения статического равновесия, показанного на рис. 15.7 горизонтальной (недеформированной) осью, перемещением y ₀ =Δ_1p.. Так как v ₀=0, то согласно (15.7) - (15.9) получаем μ=∞ и уравнение движения массы принимает вид . Сила инерции колеблющейся массы

 

 

.

Единичные перемещения вычисляем по правилу Верещагина перемножением эпюр, показанных на рис. 15.7:

,

.

Амплитудное значение силы инерции

.

По силе находится расчетный изгибающий момент

0,305 Pl.

Обращаем внимание на то, что динамическое воздействие на балку не зависит от массы М, но масса влияет на частоту колебаний.