Вычисление спектра частот собственных колебаний

 

Для вычисления спектра частот собственных колебаний достаточно рассмотреть уравнение изогнутой оси балки (15.49), подчинив его условиям закрепления ее на опорах. Из этих условий получим систему однородных уравнений, определитель которой приравниваем нулю. Это приведет к трансцендентному уравнению, собственные числа которого дадут возможность найти волновые числа k, а затем на основании (15.48) можно вычислить спектр частот собственных колебаний.

Пример 15.7.Двухопорная балка (рис. 15.13) с равномерно распределенной массой испытывает собственные колебания. Найти спектр частот собственных колебаний.

Решение. Используем уравнение изогнутой оси балки (15.49) и дважды его продифференцируем:

,

Из условий закрепления балки на левой опоре  получаем A + C = 0 и A - C =0, откуда находим A + C + 0. Из условий на правой опоре  получаем систему уравнений

, , .

Отсюда следует, что  и . В первом равенстве , т.к.  только при λ=0, т.е. при k =0. Но при этом и , что соответствует отсутствию перемещений. Значит B =0. Во втором равенстве , так как при D =0 не будет колебаний. Значит sin λ=0, т.е. λ= n π, т.е. k = n π / l и уравнение движения сечений принимает вид:

,

а согласно (15.48) получаем спектр частот собственных колебаний

.                           (15.51)

При n =1

,   .

Это первый тон колебаний с симметричной формой изгиба балки по одной полуволне, рис. 15.14 а.

При n =2 возникает второй тон колебаний с кососимметричной формой изгиба, рис.15.14 б:

, .

Бесконечное множество корней трансцендентного уравнения (15.51) определяет спектр частот с соответствующей формой колебаний. Формы колебаний зависят от способа возбуждения собственных колебаний. Можно вызвать только первую форму колебаний, если отклонить балку от положения статического равновесия прогибом посередине пролета. Можно вызвать лишь вторую форму, если отклонить балку одинаковыми перемещениями в симметрично расположенных сечениях в разные стороны от оси. Если придать балке начальный несимметричный изгиб, то возникнут все формы колебаний.

 

Метод начальных параметров в колебаниях балок

 

При наличии на балке сосредоточенных масс, а также в балках с несколькими участками, удобно применять метод начальных параметров, избегая стыковки на границах участков

Рассмотрим уравнение (15.49) и его производные:

Выразим постоянные интегрирования через начальные параметры из условий:

, , , .

Из этих условий получим зависимости:

, , , .

Отсюда находим:

, , ,

и подставим в уравнение изогнутой оси (15.50)

. (15.52)

Здесь введены функции А.Н. Крылова:

, , ,

, , ,      (15.53)

, , ,

, , .

Уравнением (15.52) пользуются так же, как (15.50).