Вынужденные колебания при гармонических нагрузках

 

В случае гармонических нагрузок , т.е. нагрузки, изменяющейся по закону синуса (или косинуса) нужно вычислять интеграл (15.25). Но этого можно избежать следующим путем.

Нужно найти решение уравнения (15.1)

,

которое приводит к неоднородному дифференциальному уравнению

,                (15.32)

где обозначено .

Так как  представляет статическое перемещение массы М от амплитудного воздействия возмущающей нагрузки, а , то уравнение (15.32) представим в виде

. (15.33)

Частное решение этого уравнения ищем в виде  и подставим в дифференциальное уравнение

.

Отсюда находим:

, , .

Обозначив  (логарифмический декремент затухания) и  (период собственных незатухающих колебаний), получим амплитуду колебаний

.

Так находим частное решение неоднородного уравнения (15.33)

.

Обозначим:

,                                     (15.34)

откуда , ,

.                               (15.35)

При таких обозначениях уравнение движения массы примет следующий вид

,                           (15.36)

где ν – коэффициент нарастания колебаний, а ρ – начальная фаза.

В случае сосредоточенной возмущающей силы , подставляя в (15.36) значения перемещений  и , получим амплитудное перемещение массы

,                             (15.37)

где k _д – динамический коэффициент при вынужденных колебаниях от гармонической нагрузки.

Заметим, что до резонанса, когда θ<ω, т.е. δ<1, сдвиг фазы вынужденных колебаний (15.34) отрицательный, т.е. отставание движение груза происходит против направления возмущающей нагрузки. При резонансе, когда δ=1 и , получим , т.е. коэффициент нарастания колебаний не бесконечно большой, как это следует из приближенного значения ν, пренебрегая затуханием колебаний

.                                            (15.38)

Однако, вдали от резонанса при 0,7 > δ > 1,3 можно пользоваться формулой (15.38). При δ>1 динамический коэффициент уменьшается и при δ, устремляющемся к бесконечности, коэффициент нарастания колебаний ν падает до нуля, т.е. динамический эффект при таких высоких частотах возмущения проявляться не будет.

Без учета сопротивления движению уравнение перемещения массы значительно упрощается. В этом случае в дифференциальное уравнение (15.21)  нужно подставить частное решение , в результате чего получим , откуда найдем амплитуду

.

Тогда частное решение будет иметь вид

.                    (15.39)

 

Пример 15.6.Невесомая балка с сосредоточенной массой М испытывает воздействие гармонической возмущающей силы  с заданным амплитудным значением Р и частотой возмущения θ, рис. 15.9.

Найти расчетный изгибающий момент

Грузовой коэффициент , т.е. квазистатическое перемещение в точке приложения массы от амплитудного значения возмущающей силы можно вычислить методом начальных параметров из уравнения изогнутой оси балки

.

Дифференцированием получаем уравнение углов поворота

.

Из условий защемления консоли, , находим начальные параметры: , .

Отсюда при a =0 получаем перемещение от единичной силы . Частота собственных колебаний .

Коэффициент нарастания колебаний .

По формуле 15.39 получаем динамическое перемещение массы в установившемся режиме колебаний

.

Сила инерции колеблющейся массы

.

Амплитудное значение изгибающего момента в защемлении

.